希尔伯特第十四问题

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希尔伯特第十四问题希尔伯特的23个问题之一。它探讨某些有理函数域中的子环的有限性问题。令为一个。令,希尔伯特猜想有限生成-代数。

历史[编辑]

此问题源自不变量理论。具体而言,假设群作用于n维仿射空间,或者等价地说,作用于多项式环。为了研究商空间,必须考虑:

希尔伯特本人证明了是某些半单李群的情形,包括。美国犹太人数学家奥斯卡·扎里斯基(Oscar Zariski)在1954年证明了的情形。对于一般的状况,日本数学家永田雅宜永田 雅宜)藉著考虑某些线性代数群的作用而在1959年造出反例。

基于美国数学家蒙福德(David Bryant Mumford)提出的假设,可以推出:若代数封闭域,且是定义在上的可约群,则是有限生成的。此假设已在1975年由美国数学家威廉·哈伯什(William J. Haboush)证明,并由印度数学家C. S. 瑟哈里(C. S. Seshadri)推广。

参考文献[编辑]

  • W.J. Haboush, Reductive groups are geometrically reductive Ann. of Math. , 102 (1975) pp. 67–83
  • D. Mumford, Geometric invariant theory(1965), Springer ISBN 3-54-056963-4
  • D. Mumford, Hilbert's fourteenth problem - the finite generation of subrings such as rings of invariants F.E. Browder(ed.), Mathematical developments arising from Hilbert problems , Proc. Symp. Pure Math. , 28 , Amer. Math. Soc.(1976) pp. 431–444
  • C.S. Seshadri, Geometric reductivity over arbitrary base Adv. Math. , 26 (1977) pp. 225–274