有界函数

在数学中，如果在某个集合 $X$ 上定义的具有实数或复数值的某个函数 $f$ 的值域是有界集合，则函数 $f$ 被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数 $M>0$ ，使得对于集合 $X$ 中的所有 $x$ ，都有 $|f(x)|\leq M$ 。有时，如果对于集合 $X$ 中的所有 $x$ ，都有 $f(x)\leq A$ ，则函数 $f$ 称为上有界的， $A$ 就是它的一个上界；如果对于集合 $X$ 中的所有 $x$ ，都有 $f(x)\geq B$ ，则函数称为下有界的， $B$ 就是它的一个下界。

一个特例是有界数列，其中 $X$ 是所有自然数所组成的集合 $\mathbb {N}$ 。所以，一个数列 $f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ 是有界的，如果存在一个数 $M>0$ ，使得对于所有的自然数 $n$ ，都有 $\left\vert a_{n}\right\vert \leq M$ 。

例子

由 $f(x)=\sin x$ 所定义的函数 $f:R\rightarrow R$ 是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。
函数 $f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}$ （ $x$ 不等于−1或1）是无界的。当 $x$ 越来越接近−1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为 $[2,\infty )$ ，则函数就是有界的。