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简单函数

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简单函数(英语:simple function)又称单纯函数,是实分析中只取有限个实值的可测函数

定义

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集合 上有Σ-代数 ,若对函数 ,存在 ,使得:

其中 代表集合 指示函数,即:

称为简单函数,也就是说,简单函数是可测集合(即 的元素)的指示函数的有限线性组合

范例

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  • 半开区间[1,9)上的取整函数,它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
  • 实直线上的狄利克雷函数,如果x是有理数,则函数的值为1,否则为0。

性质

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根据定义,两个简单函数的和、差与积,以及一个简单函数与常数的积也是简单函数,因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

定理 — 集合 上有Σ-代数 ,任何非负,在 可测的 都会是某递增且非负简单函数序列的逐点极限。更进一步的,若 有界的,则此简单函数序列是一致收敛

证明

对每个正整数 ,把 分成 个区间,也就是取

,对于

以及

然后定义可测集合

,对于

则可对每个正整数 定义非负简单函数 如下

也就构成了一个非负递增简单函数序列

这样的话,取任意 , 都存在正整数 使得

这样的话,只要 的话,都会存在正整数 使得

所以有

再考虑到,对任意正实数 ,都存在正整数 使得

所以总结一下,对任意正实数 ,取正整数 ,就会有

所以简单函数序列 的确会逐点收敛至

注意到若 是有界的,那存在一个跟点 选取无关的正整数 使得

那这样的话,对任意正实数 ,取正整数 ,就会得到一致收敛。

简单函数的积分

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测度 定义在 Σ-代数 上,若简单函数 可表达为

于某个 上,对测度 勒贝格积分定义为:

参考文献

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  • J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
  • S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
  • W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
  • H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.