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简单函数

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简单函数(英語:simple function)又稱單純函數,是实分析中只取有限個實值的可测函数

定义

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集合 上有Σ-代数 ,若對函数 ,存在 ,使得:

其中 代表集合 指示函數,即:

稱為簡單函數,也就是說,简单函数是可测集合(即 的元素)的指示函数的有限线性组合

範例

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  • 半开区间[1,9)上的取整函数,它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
  • 实直线上的狄利克雷函数,如果x是有理数,则函数的值为1,否则为0。

性质

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根据定义,两个简单函数的和、差与积,以及一个简单函数与常数的积也是简单函数,因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

定理 — 集合 上有Σ-代数 ,任何非负,在 可測的 都會是某遞增且非負簡單函數序列的逐點極限。更進一步的,若 有界的,则此簡單函數序列是一致收敛

證明

对每个正整數 ,把 分成 個區間,也就是取

,对于

以及

然後定义可测集合

,对于

則可對每個正整數 定義非負简单函数 如下

也就構成了一個非負遞增簡單函數序列

這樣的話,取任意 , 都存在正整數 使得

這樣的話,只要 的話,都會存在正整數 使得

所以有

再考慮到,對任意正實數 ,都存在正整數 使得

所以總結一下,對任意正實數 ,取正整數 ,就會有

所以簡單函數序列 的確會逐点收敛至

注意到若 是有界的,那存在一個跟點 選取無關的正整數 使得

那這樣的話,對任意正實數 ,取正整數 ,就會得到一致收斂。

简单函数的积分

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测度 定义在 Σ-代数 上,若簡單函數 可表達為

於某個 上,對測度 勒贝格积分定義為:

参考文献

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  • J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
  • S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
  • W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
  • H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.