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费马原理

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皮埃尔·德·费马

费马原理(英语:Fermat's principle)最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出:光传播的路径是光程极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数拐点[1]最初提出时,又名“最短时间原理”:光线传播的路径是需时最少的路径[2]

费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”:光沿着所需时间为平稳的路径传播。平稳是数学上的微分概念,可以理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

费马原理是几何光学的基本定理。用微分变分法可以从费马原理导出以下三个几何光学定律:

  1. 光线在真空中的直线传播。
  2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射, 入射角必须等于出射角。
  3. 光的折射定律斯涅尔定律)。

最短光时线可以有多条,例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B,可以有无数条路径,所有这些路径的光线传播时间都相等。

概述

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光线从点Q传播至点O时,会被半圆形镜子反射,最终抵达点P。
光线从点Q传播至点O时,会被混合形状镜子反射,最终抵达点P。
光线从点Q传播至点O时,会被半圆形或混合形镜子反射,最终抵达点P。

费马原理更正确的版本应是“平稳时间原理”。对于某些状况,光线传播的路径所需的时间可能不是最小值,而是最大值,或甚至是拐值[1]

  • 平面镜:任意两点的反射路径光程是最小值。
  • 半椭圆形镜子:其两个焦点的光线反射路径不是唯一的,光程都一样,是最大值,也是最小值。
  • 半圆形镜子:其两个端点Q、P的反射路径光程是最大值。
  • 如最右图所示,对于由四分之一圆形镜与平面镜组合而成的镜子,同样这两个点Q、P的反射路径的光程是拐值。

光的反射

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平面反射

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光在平面上的反射
平面反射的光程

光从P点出发射向x点,反射到Q点。

P 点到 x点的距离

Q 点 到 x 点的距离

从点P到点Q的光程 D 为

根据费马原理,光线在真空中传播的路径是光程为极值的路径。

取光程 的导数,令其为零:

但其中


这就是反射定律

半球面反射

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光线从点Q传播至点O时,会被半圆形镜子反射,最终抵达点P。
R=5 半圆镜的反射点在圆的顶点,光程最长=2.82R

球面的半径=R

光线从直径一端Q射向球面,反射到直径另一端P

光程

;

所以

根据费马原理, D'=0

解之, 得 ,代入D得到:

光程,乃是一个最大值=2.8R;(最小值光程是从直径一端到Q另一端P,光程=2R)

光的折射

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光线从介质1的点Q,在点O传播进入介质2,发生折射,最后抵达介质2的点P。

如右图所示,设定介质1、介质2的折射率分别为 ,光线从介质1在点O传播进入介质2,则斯涅尔定律以方程表达为

其中, 为入射角, 为折射角。

从费马原理,可以推导出斯涅尔定律。光线在介质1与介质2的速度 分别为

其中,真空光速。

由于介质会减缓光线的速度,折射率 都大于

从点Q到点P的传播时间

根据费马原理,光线传播的路径是所需时间为极值的路径,取传播时间 的导数,设定其为零:

其中

因此得到传播速度与折射角的关系式:

将传播速度与折射率的关系式代入,就会得到斯涅尔定律:

运动学

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伯努利家族约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。[3]他将小球运动类比作光线的运动,从而得出最速降线为摆线

参阅

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 106–111, 141, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英语) 
  2. ^ Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.: pp. 255ff, 274, 345–346, 1988, ISBN 0-486-65632-2 
  3. ^ http://www.guokr.com/article/22018/页面存档备份,存于互联网档案馆) 复活节闲扯:一场激动人心的数学公开挑战赛,果壳网。