黄金菱形

黄金菱形

在几何学中，黄金菱形是指两对角线长度的比值呈黄金比例的菱形：

${D \over d}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1.618~034$

其中$D$为长对角线的长度、$d$为短对角线的长度。而由黄金矩形中取到的伐里农平行四边形皆为黄金菱形。 有数种知名的多面体皆由黄金菱形组成，例如比林斯基十二面体、菱形三十面体等。特别地，有另一种菱形也与黄金比例相关联，即潘洛斯镶嵌中的菱形，但不同之处在于，潘洛斯镶嵌中的菱形是边长与对角线的比为黄金比例，而黄金菱形则是指两对角线比值为黄金比例的菱形。

性质

主条目：菱形

黄金菱形是菱形中的一个特例，其基本性质与菱形相同。以下讨论黄金菱形的特别性质。

内角

黄金菱形的内角为：

• 锐角：$\alpha =2\arctan {1 \over \varphi }$ ;

$\alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63.43495^{\circ }.$

• 钝角：$\beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116.56505^{\circ },$

这个角度值与正十二面体相同

边长与对角线长

由于菱形也是一种平行四边形，因此黄金菱形的边长与对角线长可以用平行四边形恒等式得出：

黄金菱形的边长$a$与对角线长$d$具有以下关系：

• $a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~d\approx 0.95106~d~.~$

因此，可以用$a$来表示长对角线$D$与短对角线$d$：

• $d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.05146~a~.$
• $D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.70130~a~.$

面积

已知短对角线长$d$时，黄金菱形的的面积为：

$A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0.80902~d^{2}~.$

已知边长为$a$时，黄金菱形的的面积为：

$A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443~a^{2}~.$

在多面体中

黄金菱形出现在许多高对称性的多面体中，例如菱形三十面体（截半二十面体的对偶多面体）、菱形六十面体（菱形三十面体的星形化体）。黄金菱形也构成了许多知名的多面体，例如黄金菱形六面体、比林斯基十二面体和菱形二十面体等。由全部皆由黄金菱形组成的凸多面体仅有两种黄金菱形六面体、比林斯基十二面体、菱形二十面体以及菱形三十面体五种。而不考虑凹凸性（即允许非凸多面体），则有无限多种多面体可以包含黄金菱形。

• 
  锐角黄金菱形六面体
• 
  钝角黄金菱形六面体
• 
  比林斯基十二面体
• 
  菱形二十面体
• 
  菱形三十面体
• 
  菱形六十面体

参见

• 黄金三角形

外部链接

• From a golden rectangle to a golden rhombus and other golden quadrilaterals （页面存档备份，存于互联网档案馆） Explores some aspects of possible golden rhombi (and golden parallelograms)