施莱夫利符号

数学中，施莱夫利符号（Schläfli symbol）是一个可以表示一特定正多胞形或密铺图案若干重要特性的符号。其命名是为了纪念19世纪数学家路德维希·施莱夫利在几何和其他领域的许多重要贡献。

正多边形

一个有n个边的正多边形，其施莱夫利符号为 $\{n\}$ 。例如，施莱夫利符号为 $\{5\}$ 的多边形即为正五边形。

星形正多边形

星形正多边形指的是正非凸多边形，即边长相等的凹多边形或复杂多边形。星形正多边形的施莱夫利符号若为{^p/_q}，表示此一星形多边形有p个角，每个角和间隔第q个角相连。因此 $\{^{5}/_{2}\}$ 即代表的是正五芒星。

正星芒形

当p和q不互质时，此时的正星形多边形即称为正星芒形（star figure）。若p跟q的最大公因数为n，此一正星芒形即是由n个 $\{^{^{p}/_{n}}/_{^{q}/_{n}}\}$ 相互旋绕而成。例如， $\{6/2\}$ ，即正六角星，便是由两个正三角形 $\{3/1\}$ 所组成的，而 $\{10/4\}$ 则是由两个正五角星所组成。

正多面体

正多面体的施莱夫利符号计做{p,q}，其中p代表每个面的边数，而q代表顶点图的边数，即每个顶点连接多少条棱。此外，还有三个二维空间欧氏正堆砌（honeycomb），它们的施莱夫利符号如下：

四维及以上正多胞形

高维空间多胞形的施莱夫利符号可以通过类比得出，一个n维正多胞形的施莱夫利符号包含n-1个数字。

四维正多胞体

四维正多胞体的施莱夫利符号记做{p,q,r},其中{p}为二维面，{p,q}为胞，{q,r}为顶点图，{r}为棱图。四维凸正多胞体共有6种，另有一个三维空间欧氏正堆砌（honeycomb），它们的施莱夫利符号如下：

正五胞体：{3,3,3}
正八胞体：{4,3,3}
正十六胞体：{3,3,4}
正二十四胞体：{3,4,3}
正一百二十胞体：{5,3,3}
正六百胞体：{3,3,5}
正六面体堆砌：{4,3,4}

五维及以上正多胞形

在五维及以上空间中只存在三种凸正多胞形，并且五维及以上空间只有一种欧氏正堆砌，其中单纯形（正n+1胞体）的施莱夫利符号为{3,3,3,...,3,3,3}（共n-1个3），超方形（正2n胞体）的施莱夫利符号为{4,3,3,...,3,3,3}（共n-2个3），正轴形（正2ⁿ胞体）的施莱夫利符号为{3,3,3,...,3,3,4}（共n-2个3），超立方体堆砌的施莱夫利符号为: {4,3,3,...,3,3,4}（中间共n-3个3）。此外，存在三个四维空间欧氏正堆砌，分别是正八胞体堆砌:{4,3,3,4}，正十六胞体堆砌:{3,3,4,3}和正二十四胞体堆砌:{3,4,3,3}。

参考文献

Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50.（Extended Schläfli notation used）

外部链接