泰勒斯定理:如果AC是直径,那么∠ABC是直角。
泰勒斯定理(英语:Thales' theorem)以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名,其内容为:若A, B, C是圆周上的三点,且AC是该圆的直径,那么∠ABC必然为直角。或者说,直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明[1]。
泰勒斯定理的逆定理同样成立,即:直角三角形中,直角的顶点在以斜边为直径的圆上。
以下证明主要使用两个定理:
设O为圆心,因为OA = OB = OC,所以△OAB和△OBC都是等腰三角形。因为等腰三角形底角相等,故有∠OBC = ∠OCB,且∠BAO = ∠ABO。设α = ∠BAO,β = ∠OBC。在△ABC中,因为三角形的内角和等于180°,所以有
![{\displaystyle \alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6245aec076d416c7a2f8b712222dc149db686370)
![{\displaystyle {2}\alpha +{2}\beta =180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64dc71fa98867e4e9f13645646ac711649f3797f)
![{\displaystyle {2}(\alpha +\beta )=180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c795e0a57bf0cd9d06f270a68726093619264d)
![{\displaystyle \therefore \angle ABC=\alpha +\beta =90^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8309bac1e45a2c3e4cf27ce7577112e8b7f3a1)
泰勒斯定理也可以用三角学方法证明,证明如下:
令O =(0, 0), A =(-1, 0), C =(1, 0)。此时,B就是单位圆
上的一点。我们将通过证明AB与BC 垂直,即它们的斜率之积等于–1,来证明这个定理。计算AB和BC的斜率:
![{\displaystyle m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44afbb686f5843c0db9256107cd5f5ac70f3e1b7)
![{\displaystyle m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a89e1d37efe4c9fea213f4d47db030b0a7e4223)
并证明它们的积等于–1:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\=&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\=&-1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d3ccc51242b1f0ffd85aa1f73123bb246bf025)
注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式
。
此证明使用两线的向量形成直角三角形,若且唯若其内积为零。设有直角三角形ABC,和以AC为直径的圆O。设O在原点,以方便计算。则AB和BC的内积为:
![{\displaystyle (A-B)\cdot (B-C)=(A-B)\cdot (B+A)=|A|^{2}-|B|^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950a27669b01a59706ce278f8c487dc3703a4165)
![{\displaystyle |A|=|B|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c27e93c3388b53e40f74667c7471365e3dbc47)
故A和B与圆心等距,即B在圆上。
泰勒斯定理是“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”的一个特殊情况。
以下是泰勒斯定理的一个相关定理:
- 如果AC是一个圆的直径,则:
- 若B在圆内,则∠ABC > 90°
- 若B在圆上,则∠ABC = 90°
- 若B在圆外,则∠ABC < 90°
泰勒斯并非此定理的首名发现者,古埃及人和巴比伦人一定已知这特性,可是他们没有给出证明。