类氢原子

似氢原子模型（Hydrogen-like atom）是只拥有一个电子的原子，与氢原子同为等电子体，例如，He⁺, Li²⁺, Be³⁺与B⁴⁺等等都是类氢原子，又称为“类氢离子”。类氢原子只含有一个原子核与一个电子，是个简单的二体系统，系统内的作用力只跟二体之间的距离有关，是反平方连心力。这反平方连心力二体系统不需再加理想化，简单化。描述这系统的（非相对论性的）薛丁格方程式有解析解，也就是说，解答能以有限数量的常见函数来表达。满足这薛丁格方程式的波函数可以完全地描述电子的量子行为。在量子力学里，类氢原子问题是一个很简单，很实用，而又有解析解的问题。所推演出来的基本物理理论，又可以用简单的实验来核对。所以，类氢原子问题是个很重要的问题。

称满足上述系统的薛丁格方程式的波函数为单电子波函数，或类氢原子波函数。类氢原子波函数是单电子角动量算符 $L$ 与其 z-轴分量算符 $L_{z}$ 的本征函数。由于能量本征值 $E_{n}$ 跟量子数 $l$ ，$m$ 无关，而只跟主量子数 $n$ 有关。所以，类氢原子波函数可以由主量子数 $n$ 、角量子数 $l$ 、磁量子数 $m$ ，独特地决定。因为构造原理，还必须加上自旋量子数 $m_{s}=\pm 1/2$ 。对于多电子原子，这原理限制了电子构型的四个量子数。对于类氢原子，所有简并的轨域形成了一个电子层；每一个电子层都有其独特的主量子数 $n$ ．这主量子数决定了电子层的能量。主量子数也限制了角量子数 $l$ 、磁量子数 $m$ 、自旋量子数 $m_{s}$ 的值域。

除了氢原子（电中性）以外，类氢原子都是离子，都带有正电荷量 $e(Z-1)$ ；其中，$e$ 是单位电荷量，$Z$ 是原子序数。离子像He⁺、Li²⁺、Be³⁺、B⁴⁺、等等，都是类氢原子。

在元素周期表中，第 IA 族的碱金属元素，其原子的最外电子层都有一个电子，而第二外层电子层的亚层，不论是 s 亚层或 p 亚层，凡是内中有电子的亚层．都已被填满。例如，钠元素有11个电子。电子排布为 $1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{1}$ 。最外层只有一个电子。第二外层的 $2s$ 与 $2p$ 亚层都已填满。钾元素有19个电子。电子排布为 $1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{2}3p^{6}4s^{1}$ 。第二外层的 $3s$ 与 $3p$ 亚层都已填满。由于 $3p$ 亚层的轨域的能量较高，最外层唯一的一个电子的轨域是 $4s$ 。受到内层电子的紧密屏蔽，这最外层的电子只能感受到大约为一个质子的存在。有效原子序数是 1 。所以，这碱金属的单电子系统可以视为一个类氢原子系统。可以用原子序数为 1 的类氢原子波函数，来近似地表达这电子的量子态。

因为电子与电子之间的库仑相互作用，拥有多个电子的原子或离子没有解析解，必须用数值法来做量子力学计算，才能求得近似的波函数以及其它有关性质。由于哈密顿量的球对称性，一个原子的角动量 $L$ 守恒。许多数值程序，开始于单电子算符 $L^{2}$ 与 $L_{z}$ 的本征函数的乘积。所计算出来的波函数的径向部分 有时会是数值列表或斯莱特轨域 (Slater orbitals) 。应用角动量偶合方法 (angular momentum coupling) ，可以设定 $L$ （或许也可以设定 $S$ ）的多电子本征函数。

薛丁格方程式解答

类氢原子问题的薛丁格方程式为

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +V(r)\psi =E\psi$ ；

其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$\mu$ 是电子与原子核的约化质量，$\psi$ 是量子态的波函数，$E$ 是能量，$V(r)$ 是库仑位势：

$V(r)=-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$ ；

其中，$\epsilon _{0}$ 是真空电容率，$Z$ 是原子序，$e$ 是单位电荷量，$r$ 是电子离原子核的距离。

采用球坐标 $(r,\ \theta ,\ \phi )$，将拉普拉斯算子展开：

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi -{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\psi =E\psi$ 。

猜想这薛丁格方程式的波函数解 $\psi (r,\ \theta ,\ \phi )$ 是径向函数 $R_{nl}(r)$ 与球谐函数 $Y_{lm}(\theta ,\ \phi )$ 的乘积：

$\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\ \phi )$ 。

角部分解答

参数为天顶角和方位角的球谐函数，满足角部分方程式

$-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )$ ；

其中，非负整数 $l$ 是轨角动量的角量子数。磁量子数 $m$ （满足 $-l\leq m\leq l$ ）是轨角动量对于 z-轴的（量子化的）投影。不同的 $l$ 与 $m$ 给予不同的轨角动量函数解答 $Y_{lm}$ ：

$Y_{lm}(\theta ,\ \phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2l+1) \over 4\pi }{(l-|m|)! \over (l+|m|)!}}}\,P_{lm}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }$ ；

其中，$i$ 是虚数单位，$P_{lm}(\cos {\theta })$ 是伴随勒让德多项式，用方程式定义为

$P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{l}(x)\,$ ；

而 $P_{l}(x)$ 是 $l$ 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为

$P_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}$ 。

径向部分解答

径向函数满足一个一维薛丁格方程式：

$\left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right]R_{nl}(r)=ER_{nl}(r)$ 。

方程式左边的第二项可以视为离心力位势，其效应是将径向距离拉远一点。

除了量子数 $\ell$ 与 $m$ 以外，还有一个主量子数 $n$ 。为了满足 $R_{nl}(r)$ 的边界条件，$n$ 必须是正值整数，能量也离散为能级 $E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}={\frac {-13.6Z^{2}}{n^{2}}}\ (eV)$ 。随著量子数的不同，函数 $R_{nl}(r)$ 与 $Y_{lm}$ 都会有对应的改变。按照惯例，规定用波函数的下标符号来表示这些量子数。这样，径向函数可以表达为

$R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)$ ；

其中，$a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}$ 。 $a_{\mu }$ 近似于波耳半径 $a_{0}$ 。假若，原子核的质量是无限大的，则 $a_{\mu }=a_{0}$ ，并且，约化质量等于电子的质量，$\mu =m_{e}$ 。 $L_{n-l-1}^{2l+1}$ 是广义拉格耳多项式，定义为

$L_{i}^{j}(x)=(-1)^{j}\ {\frac {d^{j}}{dx^{j}}}L_{i+j}(x)$ ；

其中，$L_{i+j}(x)$ 是拉格耳多项式，可用罗德里格公式表示为

$L_{i}(x)={\frac {e^{x}}{i!}}\ {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}(x^{i}e^{-x})$ 。

为了要结束广义拉格耳多项式的递回关系，必须要求 $l<n$ 。

知道径向函数 $R_{nl}(r)$ 与球谐函数 $Y_{lm}$ 的形式，可以写出整个量子态的波函数，也就是薛丁格方程式的整个解答：

$\psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\phi )$ 。

量子数

量子数 $n$ ，$l$ ，$m$ 都是整数，容许下述值：

$n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots$ ，

$l=0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n-1$ ，

$m=-l,\ -l+1,\ \ldots ,\ 0,\ \ldots ,\ l-1,\ l$ 。

为什么 $l<n$ ？为什么 $-l\leq m\leq l$ ？若想进一步知道关于这些量子数的群理论，敬请参阅氢原子量子力学。

角动量

每一个原子轨域都有特定的角动量向量 $\mathbf {L}$ 。它对应的算符是一个向量算符 ${\hat {\mathbf {L} }}$ 。角动量算符的平方 ${\hat {L}}^{2}\equiv {\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}$ 的本征值是

${\hat {L}}^{2}Y_{lm}=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{lm}$ 。

角动量向量对于任意方向的投影是量子化的。设定此任意方向为 z-轴的方向，则量子化公式为

${\hat {L}}_{z}Y_{lm}=\hbar mY_{lm}$ 。

因为 $[{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{z}]=0$ ，${\hat {L}}^{2}$ 与 ${\hat {L}}_{z}$ 是对易的，$L^{2}$ 与 $L_{z}$ 彼此是相容可观察量，这两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理，以同时地测量到 $L^{2}$ 与 $L_{z}$ 的同样的本征值。

由于 $[{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}$ ，${\hat {L}}_{x}$ 与 ${\hat {L}}_{y}$ 互相不对易，$L_{x}$ 与 $L_{y}$ 彼此是不相容可观察量，这两个算符绝对不会有共同的基底量子态。一般而言，${\hat {L}}_{x}$ 的本征态与 ${\hat {L}}_{y}$ 的本征态不同。

给予一个量子系统，量子态为 $|\psi \rangle$ 。对于可观察量算符 ${\hat {L}}_{x}$ ，所有本征值为 $l_{xi}$ 的本征态 $|f_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ ，形成了一组基底量子态。量子态 $|\psi \rangle$ 可以表达为这基底量子态的线性组合：$|\psi \rangle =\sum _{i}\ |f_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle$ 。对于可观察量算符 ${\hat {L}}_{y}$ ，所有本征值为 $l_{yi}$ 的本征态 $|g_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ ，形成了另外一组基底量子态。量子态 $|\psi \rangle$ 可以表达为这基底量子态的线性组合：$|\psi \rangle =\sum _{i}\ |g_{i}\rangle \langle g_{i}|\psi \rangle$ 。

假若，测量可观察量 $L_{x}$ ，得到的测量值为其本征值 $l_{xi}$ ，则量子态机率地塌缩为本征态 $|f_{i}\rangle$ 。假若，立刻再测量可观察量 $L_{x}$ ，得到的答案必定是 $l_{xi}$ ，在很短的时间内，量子态仍旧处于 $|f_{i}\rangle$ 。可是，假若改为立刻测量可观察量 $L_{y}$ ，则量子态不会停留于本征态 $|f_{i}\rangle$ ，而会机率地塌缩为 ${\hat {L}}_{y}$ 本征值是 $l_{yj}$ 的本征态 $|g_{j}\rangle$ 。这是量子力学里，关于测量的一个很重要的特性。

根据不确定性原理，

$\Delta L_{x}\ \Delta L_{y}\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]\rangle }{2i}}\right|={\frac {\hbar |\langle {\hat {L}}_{z}\rangle |}{2}}$ 。

$L_{x}$ 的不确定性与 $L_{y}$ 的不确定性的乘积 $\Delta L_{x}\ \Delta L_{y}$ ，必定大于或等于 ${\frac {\hbar |\langle L_{z}\rangle |}{2}}$ 。

类似地，$L_{x}$ 与 $L_{z}$ 之间，$L_{y}$ 与 $L_{z}$ 之间，也有同样的特性。

自旋-轨道作用

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电子的总角动量必须包括电子的自旋。在一个真实的原子里，因为电子环绕著原子核移动，会感受到磁场。电子的自旋与磁场产生作用 ，这现象称为自旋-轨道作用。当将这现象纳入计算，自旋与角动量不再是保守的，可以将此想像为电子的进动。为了维持保守性，必须取代量子数 $l$ 、$m$ 与自旋的投影 $m_{s}$ ，而以量子数 $j$，$m_{j}$ 来计算总角动量。

精细结构

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在原子物理学里，因为一阶相对论性效应，与自旋-轨道耦合，而产生的原子谱线分裂，称为精细结构。

非相对论性，无自旋的电子产生的谱线称为粗略结构。类氢原子的粗略结构只跟主量子数 $n$ 有关。可是，更精确的模型，考虑到相对论效应与自旋-轨道效应，能够分解能级的简并，使谱线能更精细地分裂。相对于粗略结构，精细结构是一个 $(Z\alpha )^{2}$ 效应；其中，$Z$ 是原子序数，$\alpha$ 是精细结构常数。

在相对论量子力学里，狄拉克方程式可以用来计算电子的波函数。用这方法，能阶跟主量子数 $n$ 、总量子数 $j$ 有关，容许的能量为

$E_{nj}=E_{n}\left[1+\left({\frac {Z\alpha }{n}}\right)^{2}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right]$ 。

稳定性

思考类氢原子稳定性问题，应用经典电动力学来分析，则由于库仑力作用，束缚电子会被原子核吸引，呈螺线运动掉入原子核，同时辐射出无穷大能量，因此原子不具有稳定性。但是，在大自然里这虚拟现象实际并不会发生。那么，为什么类氢原子的束缚电子不会掉入原子核里？应用量子力学，可以计算出类氢原子系统的基态能量大于某有限值，称这结果为满足“第一种稳定性条件”，即类氢原子的基态能量 $E_{0}$ 大于某有限值：

$E_{0}>-\infty$ 。

量子力学的海森堡不确定性原理 $\Delta x\Delta p\geq \hbar /2$ 可以用来启发性地说明这问题，电子越接近原子核，电子动能越大。但是海森堡不确定性原理不能严格给出数学证明，有些特别案例不能满足第一种稳定性条件，因为 $\Delta x$ 量度的是波函数的半宽度，而不是波函数集聚于原子核附近的程度，所以波函数可以拥有一定的半宽度，并且极度集聚于原子核附近，造成库仑势能趋于 $-\infty$ ，同时维持有限的动能。

更详细分析起见，只考虑类氢原子系统，给定原子的原子序 $Z$ ，原子的能量 $E$ 为

$E=T+V=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\mathrm {d} x\left({\frac {1}{2}}|\nabla \psi (x)|^{2}-Z{\frac {|\psi (x)|^{2}}{|x|}}\right)$ ；

其中，$T$ 为动能，$V$ 为势能，$\psi (x)$ 为描述类氢原子系统的波函数，$x$ 为位置坐标，$\mathbb {R} ^{3}$ 为积分体积。

应用索博列夫不等式，经过一番运算，可以得到能量最大下界为。

$E_{0}=-4Z^{2}/3\ [Ry]$ ；

其中，$Ry$ 是能量单位里德伯，大约为13.6eV。

总结，类氢原子满足第一种稳定性条件这结果。

参阅

• 氢原子
• 芮得柏原子
• 正子电子偶
• 拉普拉斯-龙格-冷次向量
• 精细结构

参考文献

• Tipler, Paul & Ralph Llewellyn (2003). Modern Physics (4th ed.). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0
• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1995: 131-200. ISBN 0-13-111892-7.