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角動量算符

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量子力學裏,角動量算符英语:angular momentum operator)是一種算符,類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性rotational symmetry)的理論裏,角動量算符佔有中心的角色。角動量,動量,與能量是物體運動的三個基本特性[1]

簡介[编辑]

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏,如同能量和動量,角動量是守恆的。在量子力學裏,角動量算符的概念是必要的,因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數,而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界,分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為,而不是命定性(deterministic)行為。

數學定義[编辑]

經典力學裏,角動量 定義為位置 與動量 叉積

在量子力學裏,對應的角動量算符 定義為位置算符 動量算符 的叉積:

由於動量算符的形式為

角動量算符的形式為

其中,梯度算符。

角動量是厄米算符[编辑]

在量子力學裏,每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量,所以,角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點,思考角動量算符的 x-分量

伴隨算符

由於 ,都是厄米算符,

由於 之間、 之間分別相互對易,所以,

因此, 是一個厄米算符。類似地, 都是厄米算符。總結,角動量算符是厄米算符。

再思考 算符,

伴隨算符

由於 算符、 算符、 算符,都是厄米算符,

所以, 算符是厄米算符。

對易關係[编辑]

兩個算符 交換算符 ,表示出它們之間的對易關係

角動量算符與自己的對易關係[编辑]

思考 交換算符

由於兩者的對易關係不等於 0 , 彼此是不相容可觀察量 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言,本徵態 的本徵態不同。

給予一個量子系統,量子態為 。對於可觀察量算符 ,所有本徵值為 的本徵態 ,形成了一組基底量子態。量子態 可以表達為這基底量子態的線性組合 。對於可觀察量算符 ,所有本徵值為 的本徵態 ,形成了另外一組基底量子態。量子態 可以表達為這基底量子態的線性組合:

根據哥本哈根詮釋量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若,我們測量可觀察量 ,得到的測量值為其本徵值 ,則量子態機率塌縮為本徵態 。假若,我們立刻再測量可觀察量 ,得到的答案必定是 ,量子態仍舊處於 。可是,假若,我們改為測量可觀察量 ,則量子態不會停留於本徵態 ,而會塌縮為 的本徵態。假若,得到的測量值為其本徵值 ,則量子態機率塌縮為本徵態

根據不確定性原理

的不確定性與 的不確定性的乘積 ,必定大於或等於

之間, 之間,也有類似的特性。

角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係[编辑]

思考 的交換算符,

對易的 彼此是相容可觀察量,兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理,我們可以同時地測量到 的本徵值。

類似地,

之間、 之間,都分別擁有類似的物理特性。

哈密頓算符與角動量算符之間的對易關係[编辑]

思考哈密頓算符 的交換算符,

對易的 彼此是相容可觀察量,兩個算符擁有共同的本徵態。根據不確定性原理,我們可以同時地測量到 的同樣的本徵值。

類似地,

之間, 之間,都分別擁有類似的物理特性。

在經典力學裏的對易關係[编辑]

在經典力學裏,角動量算符也遵守類似的對易關係:

其中,帕松括號列維-奇維塔符號 ,代表直角坐標

本徵值與本徵函數[编辑]

採用球坐標。展開角動量算符的方程式:

其中, ,分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標

其中, ,分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以, 分別是

角動量平方算符是

其中,

經過一番繁雜的運算,終於得到想要的方程式

滿足算符 本徵函數球諧函數

其中,本徵值 是正整數。

球諧函數也是滿足算符 微分方程式的本徵函數:

其中,本徵值 是整數,

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ,它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數 表達為

其中,虛數單位伴隨勒讓德多項式,用方程式定義為

勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為:

球諧函數滿足正交歸一性

這樣,角動量算符的本徵函數,形成一組單範正交基。任意波函數 都可以表達為這單範正交基的線性組合

其中,

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155

外部連結[编辑]

  • 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學:角動量加法