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動量算符

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量子力學裏,動量算符英语:momentum operator)是一種算符,可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子,作用於波函數 的動量算符可以寫為

其中, 是動量算符,約化普朗克常數虛數單位 是位置。

給予一個粒子的波函數 ,這粒子的動量期望值

其中, 是動量。

導引 1[编辑]

對於一個非相對論性的自由粒子,位勢 不含時薛丁格方程式表達為

其中,約化普朗克常數 是粒子的質量 是粒子的波函數 是粒子的位置, 是粒子的能量

這薛丁格方程式的解答 是一個平面波

其中,波數

根據德布羅意假說,自由粒子所表現的物質波,其波數與自由粒子動量的關係是

自由粒子具有明確的動量 ,給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為 。假若,對於這系綜內,每一個自由粒子系統的動量所作的測量,都得到同樣的測量值 ,那麼,不確定性 ,這自由粒子的量子態是確定態,是 本徵態,在位置空間(position space)裏,本徵函數本徵值

換句話說,在位置空間裏,動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 [1]

為了要達到此目標,勢必要令

所以,可以認定動量算符的形式為

導引 2[编辑]

古典力學裏,動量是質量乘以速度:

在量子力學裏,由於粒子的位置不是明確的,而是機率性的。所以,猜想這句話是以期望值的方式來實現[2]

那麼,用積分方程式來表達,

其中,波函數

取微分於積分號下,

由於 只是一個位置的統計參數,不跟時間有關,

(1)

含時薛丁格方程式

其中, 是位勢。

共軛複數

將上述兩個方程式代入方程式 (1),可以得到

使用分部積分法,并利用当x趋于无穷大时波函数趋于零的特性,有

(2)
(3)

方程式 (2) 與 (3) 的減差(使用分部積分法,并利用当x趋于无穷大时波函数趋于零的特性)

所以,

對於任意波函數 ,這方程式都成立。因此,可以認定動量算符

厄米算符[编辑]

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以,可觀察量 的期望值是實值的:

對於任意量子態 ,這關係都成立:

根據伴隨算符的定義,假設 的伴隨算符,則 。因此,

這正是厄米算符的定義。所以,表示可觀察量的算符 ,都是厄米算符。

動量是一個可觀察量,動量算符應該也是厄米算符:選擇位置空間,量子態 的波函數為

對於任意量子態 。所以,動量算符確實是一個厄米算符。

本徵值與本徵函數[编辑]

假設,動量算符 本徵值本徵函數

這方程式的一般解為,

其中, 是常數。

假設 的定義域是一個有限空間,從 ,那麼,可以將 歸一化

的值是 。動量算符的本徵函數歸一化為

假設 的定義域是無窮大空間,則 不是一個平方可積函數

動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內,不能直接地積分 於無窮大空間,來使 歸一化。

換另一種方法,設定 。那麼,

其中,狄拉克δ函數

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質,動量算符的本徵函數是完備的。也就是說,任意波函數 都可以表達為本徵函數的線性組合:

其中,係數

正則對易關係[编辑]

位置算符與動量算符的交換算符,當作用於一個波函數時,有一個簡單的結果:

所以, 。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ,位置與動量彼此是不相容可觀察量 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言, 的本徵態與 的本徵態不同。

根據不確定性原理

由於 是兩個不相容可觀察量, 。所以, 的不確定性與 的不確定性的乘積 ,必定大於或等於

參考文獻[编辑]

  1. ^ A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 443–444, 1978, ISBN 0-393-09106-0 请检查|isbn=值 (帮助) (英语) 
  2. ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall: pp. 15–18, 97–116, 2004, ISBN 0-13-111892-7