博雷爾集

博雷爾集，又稱Borel集，是群特殊的子集合，這群子集合的整體是任何內涵某指定的拓撲空間的所有開集中最小的Σ-代數。所以博雷爾集的全體又稱為博雷爾代數或者博雷爾σ-代數。博雷爾集是由埃米爾·博雷爾的名字命名的。

博雷爾集在測度論中有着重要的意義，因為任何空間上的開集（或者閉集）上定義的測度，必然可以將定義延拓到空間所有的博雷爾集上。定義在博雷爾集上的測度被稱為博雷爾測度。博雷爾集和相關的博雷爾分層在描述集合論中也起着基礎性的作用。

某些情況下，博雷爾集定義是由拓撲空間中的緊緻集合所構造出來的而不是前面講的開集合。兩個定義在很多良好的空間中是等價的，包括所有 σ-緊的豪斯多夫空間，但是在具有病態性質的空間中兩者可能不同。

正式定義

定義 — $(X,\,\tau )$ 是一個拓撲空間，則拓撲 $\tau$ 的最小σ代數 $\sigma (\tau )$ 被稱為 $X$ 的博雷爾代數（Borel algebra），任意 $A\in \sigma (\tau )$ 則被稱為博雷爾集（Borel set）。

博雷爾代數的生成

當 X 是一個度量空間時，博雷爾代數可以用如下構造方法來描述。

T 是 X 的子集合的集合族（即 X 的冪集 P(X) 的任何子集），令

T_σ 為T中元素的所有可數聯集
T_δ 為T中元素的所有可數交集
T_δσ=(T_δ)_σ.

現在利用超限歸納法定義如下的序列G^m，其中m是一個序數：

對於初始的情況，定義

G⁰ = X 的所有開子集。

如果i不是極限序數，那麼i是i-1的後繼序數。令

Gⁱ = [G^i-1]_δσ

如果i是極限序數，令

$G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.$

我們現在可以說博雷爾代數是G^ω₁，其中ω₁是第一不可數序數(first uncountable ordinal number)，即基數為 ℵ₁的序數集。這意味着博雷爾代數可以通過開集全體的迭代運算

G\mapsto G_{\delta \sigma }.

至第一不可數序而生成。

為了證明這一點，首先注意到度量空間中的任何開集都是一列遞增緊集的並。特別地，易知對於任何極限序數m，集合的差運算將G^m映射到自身；而且，當m是不可數的極限序數時，G^m在可數並運算下是封閉的。

注意到對於每一個博雷爾集B，存在一個可數序數α_B使得B可以通過α_B多次迭代後得到。但是隨着B取遍所有博雷爾集，α_B也會相應地取遍所有可數序數，故而要得到所有博雷爾集所需的最靠前的序數是ω₁，即第一不可數序數。

例子

一個重要的例子，尤其是對於概率論而言，是實數集上的博雷爾代數。它是用來定義博雷爾測度的代數。對於概率空間上一個給定的實隨機變量，其概率分布按照定義，也是一個博雷爾代數上的測度。

實直線R上的博雷爾代數是包含所有區間的最小σ-代數。

在利用超限歸納法構造時，可以證明在每一步中，集合的數量至多是連續統的冪。所有博雷爾集的總數不會多於 $\aleph _{1}\times 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}\,$ 。

非博雷爾集

下面描述了盧津給出的一個實數集上的子集不是博雷爾集的例子。與之形成對比的是，不可測集的例子是無法給出的，不過其存在性是可以證明的。

每一個無理數都有一個唯一的連分數表示

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}

其中 $a_{0}\,$ 是一個整數，其餘的 $a_{k}\,$ 都是正整數。令A為對應序列 $(a_{0},a_{1},\dots )\,$ 的無理數組成的集合，而且其中的元素滿足下列性質：存在一個無限子序列 $(a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )\,$ 使得序列中每一個元素都是下一個元素的因子。這個集合A不是博雷爾集。事實上，這個集合是一個解析集，進一步地，在解析集全體構成的類中是完備的。更詳細的內容見描述集合論和Alexander S. Kechris的著作，特別是209頁的練習(27.2)、169頁的定義(22.9)和14頁的練習(3.4)(ii)。

參考文獻

William Arveson, An Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag, 1981
Richard Dudley, Real Analysis and Probability. Wadsworth, Brooks and Cole, 1989
保羅·哈爾莫斯, Measure Theory, D.van Nostrand Co., 1950
Halsey Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988
Alexander S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag, 1995 (Graduate texts in Math., vol. 156)