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孤波

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在實驗室中造波水槽里水的孤波(Solitary wave)。
鍾型孤立子
扭型孤立子
呼吸子
加德納方程孤波
庫普-庫珀施密特方程孤波

孤波(英語:soliton或solitary wave)又稱孤子波孤立子孤立波,是非線性科學三大分支之一,應用於物理數學等諸多領域。

孤波是一類由於非線性作用引起的橫波,它在運動過程中形狀保持不變[1]。其初等函數的解析表示最早於1895年獲得,並隨着量子力學電子計算機等科學技術的發展逐步受到重視。


需要注意的是,雖然在許多場合下,孤波(solitary wave)與孤子(soliton)會被混淆使用,但嚴格來說並不是一個概念。

孤波(solitary wave):孤波是一類局部化(localized)的行進波。也就是說孤波在行進時速度與波形都不會發生改變,且波的邊緣無限接近於零(波的大小不為無限)。一維的孤波一般可以用來表示(為行進速度,為坐標,為時間)。

孤子(soliton):孤子是條件更加嚴格的孤波。各孤波碰撞後,各自的行進速度與波形仍然不發生變化的孤波才被稱為孤子。更為具體的定義為,如一個系統的多個孤波解的線性組合也是這個系統的解的話,這樣的孤波解會被稱為這個系統的孤子解。[2][3]


物理學家經常混用兩者的理由一般為:實驗中無法確認一個物理對象是否為孤子。因為無法用無限的時間來觀測一個物理對象,即無法確定在未觀測的過去與不可知的未來里該對象是否保持着孤子的性質。因為這個理由,在實踐中物理學家一般會將一段較長時間內保持着孤子性質的孤波稱為孤子。但對於數學領域的孤波和已經給定了哈密頓量(或拉格朗日量)的可解系統英語integrable system,是可以通過數學計算來確定解是否為孤子的。[2][3]

在物理學中,稱呼一個波為孤子(或孤波)可以指這個波本身在空間坐標中是孤子(或孤波),亦或是這個波的能量密度函數在空間坐標中是孤子(或孤波)。前者的例為KdV方程的2-soliton解。[4]後者的例為Sine-Gordon方程的kink解。[5]

歷史

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蘇格蘭科學家、造船工程師約翰·史考特·羅素(1808–1882)於1834年8月在英國聯合運河旁騎馬時發現了自然界中的孤波——水面上滾動的水柱以每小時8-9英里[6] 的速度向前滾動,持續超過一英里。10年後,他在英國科學促進協會第14屆會議上,發表論文《論水波》也稱為羅素水波。

數學模型

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孤波解是一類特殊的非線性偏微分方程行波解KdV方程mKdV方程、非線性薛定諤方程式Sine-Gordon方程[7]高次Boer-Kraup系統[8] 都有孤波解。

分類

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孤波有如下幾種類型:鍾型孤波、反鐘形孤波、扭型孤波、反扭型孤波,呼吸子[9]

孤子按照形狀和相位的角度可以分為亮孤子和暗孤子,暗孤子又可以分為黑孤子和灰孤子。亮孤子的波峰向上,相位是一個常數。而暗孤子有一個下凹的峰,在最底部的相位有π角度的突變,而灰孤子的幅值相對較小,且相位連續變化。另外還新發現了只能存在於周期系統的能隙亮孤子。

根據產生時抵消平衡的是衍射還是色散,光學中的孤子分為兩類,時間孤子和空間孤子。非線性效應與色散效應導致平衡時,形成時間孤子。空間孤子的形成是由於自聚焦效應導致的光束緊縮與衍射作用下的光束擴散相抵消造成的。

其它常見分類

  • 根據橫向維數不同,可以分為一維孤子和二維孤子。
  • 根據介質中有無耗散,可以分為耗散孤子和無耗散孤子。
  • 根據孤子的分量數目的不同,可以分為矢量孤子和標量孤子。矢量孤子由多個分量組成,保持穩定需要多個分量組成,而標量孤子不需要。
  • 根據孤子解的階數,分為高階孤子(higher-order solitons)和基本孤子(fundamental solitons)。
  • 由於介質非線性折射率不同,可以分為克爾型孤子和飽和型孤子,克爾型孤子所在介質的非線性折射率與光強強度成正比,而飽和型非線性折射率隨着光強強度增加趨於飽和。

應用

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孤波應用於從量子力學光信息傳輸蛋白質和DNA英語Low-frequency collective motion in proteins and DNA結構等諸多領域。

光學

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光學中,單一光波束稱為孤波。理論上傳輸穩定,不失真,被實驗於光纖通信領域。

光孤立子(光孤子),是一種脈衝,當色散被非線性效應抵銷時則此脈衝將傳輸一段距離而不會失真。

理論物理

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參見

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外部連結

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參考文獻

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  1. ^ 《力學學報》(Acta Mechanica Sinica),1982年03期《應力孤子波》STRESS SOLITON WAVE,王潤文上海光機所
  2. ^ 2.0 2.1 Alwyn, Scott. Encyclopedia of nonlinear science. New York: Routledge. 2005: 849–850. ISBN 978-1-135-45557-6. OCLC 1124392065. 
  3. ^ 3.0 3.1 Rajaraman, R. Solitons and instantons : an introduction to solitons and instantons in quantum field theory. Amsterdam: ELSEVIER SCIENCE B.V. (1987 [printing]): 10–12. ISBN 0-444-87047-4. OCLC 17480018. 
  4. ^ Soliton-Lab Art Gallery: Many Faces of Solitons——点击页面内的gif. www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp. [2022-06-20] –透過京都大學. 
  5. ^ Amado, André; Mohammadi, Azadeh. A $$\phi ^6$$ soliton with a long-range tail. The European Physical Journal C. 2020-06-27, 80 (6): Fig. 1的a與b. ISSN 1434-6052. doi:10.1140/epjc/s10052-020-8162-9 (英語). 
  6. ^ 1英里=1609.344米
  7. ^ 閻振亞著 《複雜非線性波的構造性理論及其應用》29頁 科學出版社 2007年
  8. ^ Yu Rui Darboux Transformation and New Soliton-like Solutions
  9. ^ 閻振亞著 《複雜非線性波的構造性理論及其應用》28頁 科學出版社 2007年
  10. ^ Polyakov, Alexander M.; Belavin, A.A. Metastable States of Two-Dimensional Isotropic Ferromagnets. JETP Lett. 1975,. 22 (1975): 245-248 –透過https://inspirehep.net/literature/107068. 
  11. ^ Krumhansl, J. A.; Schrieffer, J. R. Dynamics and statistical mechanics of a one-dimensional model Hamiltonian for structural phase transitions. Physical Review B. 1975-05-01, 11 (9). doi:10.1103/PhysRevB.11.3535. 
  12. ^ Hooft, G.'t. Magnetic monopoles in unified gauge theories. Nuclear Physics B. 1974-09, 79 (2). ISSN 0550-3213. doi:10.1016/0550-3213(74)90486-6. 
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  15. ^ Skyrme, T. A unified field theory of mesons and baryons. Nuclear Physics. 1962, 31: 556–569. Bibcode:1962NucPh..31..556S. doi:10.1016/0029-5582(62)90775-7. 
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A. Sergyeyev, New integrable (3+1)-dimensional systems and contact geometry, Lett. Math. Phys. 108 (2018), no. 2, 359-376,

doi:10.1007/s11005-017-1013-4