拉格朗日括號

拉格朗日括號是一種與泊松括號關係密切的運算，1808年至1810年間由約瑟夫·拉格朗日最早用於經典力學之中。不過與泊松括號相比，拉格朗日括號在今日已不常使用。

定義

令(q₁, …, q_n, p₁, …, p_n)為相空間中的正則坐標，且每一個坐標都可表示為兩個變量u與v的函數，則u和v的拉格朗日括號為：

$[u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).$

性質

• 拉格朗日括號與特定的正則坐標無關(q, p)。如取另一組正則坐標(Q,P) = (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n)，滿足正則變換

$Q=Q(q,p),P=P(q,p)$

此時拉格朗日括號不變，即

$[u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}$

因而通常情況下會省略下標。

• 如果2n維相空間W上有辛形式Ω，u₁,…,u_2n是W上的一個坐標系，那麼正則坐標(q,p)可表示為u的函數，而拉格朗日括號所組成的矩陣

$[u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n$

表示在]Ω在坐標系u下的分量，可看作一個張量。這個矩陣是由泊松括號所組成的矩陣

$\{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n$

的逆矩陣。

• 由上述性質可以得到，相空間上的坐標(Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n)是正則的，當且僅當它們之間的拉格朗日括號有如下形式：

$[Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.$

參見

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學

參考文獻

• Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
• Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277. MR1659212