算術-幾何平均值不等式,簡稱算幾不等式,是一個常見而基本的不等式,表現算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關係。設
為
個正實數,它們的算術平均數是
,它們的幾何平均數是
。算術-幾何平均值不等式表明,對任意的非負實數
:
等號成立當且僅當
。
通常用於兩個數之間,設這兩個數為
和
,也就是
算術-幾何平均值不等式僅適用於正實數,是對數函數之凹性的體現,在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。
算術-幾何平均值不等式有時被稱為平均值不等式(或均值不等式),其實後者是一組更廣泛的不等式。
在
的情況,設:
,那麼
![{\displaystyle \mathbf {A} _{4}={\frac {3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\ \mathbf {G} _{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}}\approx 5.4945}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c02f0818d5eb37e2c3203835b4d025e8f0d271)
可見
。
歷史上,算術-幾何平均值不等式擁有眾多證明。
的情況很早就為人所知,但對於一般的
,不等式並不容易證明。1729年,英國數學家麥克勞林最早給出一般情況的證明,用的是調整法,然而這個證明並不嚴謹,是錯誤的。
1821年,法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出一個使用逆向歸納法的證明[1]:
命題
![{\displaystyle P_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5949c8b1de44005a1af3a11188361f2a830842d1)
:對任意的
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
個正實數
![{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737e02a5fbf8bc31d443c91025339f9fd1de1065)
,
當
時,
顯然成立。假設
成立,那麼
成立。證明:對於
個正實數
,
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+y_{1}+\cdots y_{n}}{2n}}=\ {\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}+{\frac {y_{1}+\cdots +y_{n}}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2632e60685861291a7a5502844dfd83877f15f4c)
![{\displaystyle \geq \ {\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}+{\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}\right)\geq \ {\sqrt {{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f063744013d809a01fc7f86213e1f8b33565ca)
![{\displaystyle =\ {\sqrt[{2n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f197d659278b597590d3c3eee9fc428a0ed0cd9a)
假設
成立,那麼
成立。證明:對於
個正實數
,設
,
,那麼由於
成立,
。
但是
,
,因此上式正好變成
![{\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}^{n}\geq \mathbf {G} _{n-1}^{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9982fc5c741f33b7e6afed9af48e4dc70c1f21d)
也就是說
綜上可以得到結論:對任意的自然數
,命題
都成立。這是因為由前兩條可以得到:對任意的自然數
,命題
都成立。因此對任意的
,可以先找
使得
,再結合第三條就可以得到命題
成立了。
使用常規數學歸納法的證明則有喬治·克里斯托(George Chrystal)在其著作《代數論》(Algebra)的第二卷中給出的[2]:
於是完成了從
到
的證明。
此外還有更簡潔的歸納法證明[3]:
注意到幾何平均數
實際上等於
,因此算術-幾何平均不等式等價於:
。
由於對數函數是一個凹函數,由琴生不等式可知上式成立。
令
,於是有
,再作代換
,運用排序不等式得到:
,
於是得到
,即原不等式成立。
此外還有基於伯努利不等式或藉助調整法、輔助函數求導和加強命題的證明。
算術-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。
不僅「均勻」的算術平均數和幾何平均數之間有不等式,加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設
和
為正實數,並且
,那麼:
。
加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。
算術-幾何平均不等式可以看成是一維向量的係數的平均數不等式。對於二維的矩陣,一樣有類似的不等式:
對於係數都是正實數的矩陣
設
,
,那麼有:
![{\displaystyle {\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}}}\leqslant {\frac {G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afd5115a31c9295bf645fe62037b9ca8fff1a1a)
也就是說:對
個縱列取算術平均數,它們的幾何平均小於等於對
個橫行取的
個幾何平均數的算術平均。
也稱為積分形式:對任意在區間
上可積的正值函數
,都有
這實際上是在算術-幾何平均值不等式取成
後,將兩邊的黎曼和中的
趨於無窮大後得到的形式。
若再規定
的調和平均數
則有
且等號依舊成立當且僅當
。
證明由算數-幾何平均值不等式知
故
即
且等號成立於
即
- ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) Paris, 1821. p457.
- ^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Chapter XXIV.p46.
- ^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007
- 匡繼昌,《常用不等式》,山東科技出版社。
- 李勝宏,《平均不等式與柯西不等式》,華東師大出版社。
- 莫里斯·克萊因(Morris Kline),張理京 張錦炎 江澤涵 譯,《古今數學思想》,上海科學技術出版社。
- 李興懷,《學科奧林匹克叢書·高中數學》,廣東教育出版社。