算术-几何平均值不等式,简称算几不等式,是一个常见而基本的不等式,表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设
为
个正实数,它们的算术平均数是
,它们的几何平均数是
。算术-几何平均值不等式表明,对任意的非负实数
:
等号成立当且仅当
。
通常用于两个数之间,设这两个数为
和
,也就是
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数,是对数函数之凹性的体现,在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式有时被称为平均值不等式(或均值不等式),其实后者是一组更广泛的不等式。
在
的情况,设:
,那么
![{\displaystyle \mathbf {A} _{4}={\frac {3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\ \mathbf {G} _{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}}\approx 5.4945}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c02f0818d5eb37e2c3203835b4d025e8f0d271)
可见
。
历史上,算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
的情况很早就为人所知,但对于一般的
,不等式并不容易证明。1729年,英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明,用的是调整法,然而这个证明并不严谨,是错误的。
1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出一个使用逆向归纳法的证明[1]:
命题
![{\displaystyle P_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5949c8b1de44005a1af3a11188361f2a830842d1)
:对任意的
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
个正实数
![{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737e02a5fbf8bc31d443c91025339f9fd1de1065)
,
当
时,
显然成立。假设
成立,那么
成立。证明:对于
个正实数
,
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+y_{1}+\cdots y_{n}}{2n}}=\ {\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}+{\frac {y_{1}+\cdots +y_{n}}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2632e60685861291a7a5502844dfd83877f15f4c)
![{\displaystyle \geq \ {\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}+{\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}\right)\geq \ {\sqrt {{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f063744013d809a01fc7f86213e1f8b33565ca)
![{\displaystyle =\ {\sqrt[{2n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f197d659278b597590d3c3eee9fc428a0ed0cd9a)
假设
成立,那么
成立。证明:对于
个正实数
,设
,
,那么由于
成立,
。
但是
,
,因此上式正好变成
![{\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}^{n}\geq \mathbf {G} _{n-1}^{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9982fc5c741f33b7e6afed9af48e4dc70c1f21d)
也就是说
综上可以得到结论:对任意的自然数
,命题
都成立。这是因为由前两条可以得到:对任意的自然数
,命题
都成立。因此对任意的
,可以先找
使得
,再结合第三条就可以得到命题
成立了。
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托(George Chrystal)在其著作《代数论》(Algebra)的第二卷中给出的[2]:
于是完成了从
到
的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]:
注意到几何平均数
实际上等于
,因此算术-几何平均不等式等价于:
。
由于对数函数是一个凹函数,由琴生不等式可知上式成立。
令
,于是有
,再作代换
,运用排序不等式得到:
,
于是得到
,即原不等式成立。
此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式,加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设
和
为正实数,并且
,那么:
。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵,一样有类似的不等式:
对于系数都是正实数的矩阵
设
,
,那么有:
![{\displaystyle {\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}}}\leqslant {\frac {G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afd5115a31c9295bf645fe62037b9ca8fff1a1a)
也就是说:对
个纵列取算术平均数,它们的几何平均小于等于对
个横行取的
个几何平均数的算术平均。
也称为积分形式:对任意在区间
上可积的正值函数
,都有
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成
后,将两边的黎曼和中的
趋于无穷大后得到的形式。
若再规定
的调和平均数
则有
且等号依旧成立当且仅当
。
证明由算数-几何平均值不等式知
故
即
且等号成立于
即
- ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, (页面存档备份,存于互联网档案馆) Paris, 1821. p457.
- ^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II (页面存档备份,存于互联网档案馆), Chapter XXIV.p46.
- ^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007
- 匡继昌,《常用不等式》,山东科技出版社。
- 李胜宏,《平均不等式与柯西不等式》,华东师大出版社。
- 莫里斯·克莱因(Morris Kline),张理京 张锦炎 江泽涵 译,《古今数学思想》,上海科学技术出版社。
- 李兴怀,《学科奥林匹克丛书·高中数学》,广东教育出版社。