在數學中,重言 1-形式(Tautological one-form)是流形 Q 的餘切叢
上一個特殊的 1-形式。這個形式的外導數定義了一個辛形式給出了
的辛流形結構。重言 1-形式在哈密頓力學與拉格朗日力學的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有時也稱為劉維爾 1-形式,典範 1-形式,或者辛勢能。一個類似的對象是切叢上的典範向量場。
在典範坐標中,重言 1-形式由下式給出:
![{\displaystyle \theta =\sum _{i}p_{i}dq^{i}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0f65df33f45abfe35a85f2a4a35ded3c03e44d)
在差一個全微分(恰當形式)的意義下,相空間中的任何「保持」典範 1-形式結構的坐標系,可以稱之為典範坐標;不同典範坐標之間的變換稱為典範變換。
典範辛形式由
![{\displaystyle \omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f4b3ac667ea721f5b371c10c18e5951de7d946)
給出。
重言 1-形式可以相當抽象地定義為相空間上一個 1-形式。設
是一個流形,
是其餘切空間或者說相空間。設
![{\displaystyle \pi :M\to Q\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9294ca60e330e4bb9cd52e195941467a63cb31da)
是典範纖維叢投影,令
![{\displaystyle T_{\pi }:TM\to TQ\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3fbfa7782847d38efd02b3a4f2c3b4fc9d4b36)
是
誘導的前推。設 m 是 M 上一點,然而因為 M 是餘切叢,我們可將 m 理解為切空間上一個函數,在
點為:
![{\displaystyle m:T_{q}Q\to \mathbb {R} \ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/612564b7da328a4c74d26f13f04370b450b465be)
這樣,我們便有 m 是在 q 點的纖維中。重言 1-形式
在點 m 定義為
![{\displaystyle \theta _{m}=m\circ T_{\pi }\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230cb0b2ba7a4e5c4ea20293a9361c52d75d9bb4)
這是一個線性函數
![{\displaystyle \theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R} \ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765c06602f945737afec33407b1cae09a1414a9a)
所以
![{\displaystyle \theta :TM\to \mathbb {R} \ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125b4fcd232fd20c19a1d4e9e09d9bb0c6008ba4)
是流形
上一個 1-形式。不難驗證這種定義和上一節局部坐標的定義是相同的。
重言 1-形式是惟一「消去」拉回的 1-形式。這便是說:若
![{\displaystyle \beta :Q\to T^{*}Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3559b700d0d2a19bc79476e44048d8bbfe6106)
是 Q 上任意一個 1-形式,而
是其拉回。那麼
![{\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta \ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce97f883e8cca4b4eb103ebf3354a14259cea920)
以及
![{\displaystyle \beta ^{*}\omega =-d\beta \ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5994c5265cd16275bf4af2580bccc742eb7891)
這些都可以用上一節的定義直接得到,如果寫成局部坐標的形式就最好理解:
![{\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta ^{*}\sum _{i}p_{i}dq^{i}=\sum _{i}\beta ^{*}p_{i}dq^{i}=\sum _{i}\beta _{i}dq^{i}=\beta \ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850e4c358da67825dd755e3329711e2a417fb758)
如果 H 是餘切叢上一個哈密頓向量場,而
是其哈密頓流,那麼相應的作用量 S 為
![{\displaystyle S=\theta (X_{H})\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d373a8955222bc9a2438f9f409af977ee982eff0)
用普通的方式表述,哈密頓流代表了一個力學系統在哈密頓-雅可比方程限制下的軌道。哈密頓流是哈密頓向量場的積分曲線,所以我們用作用量-角度坐標傳統記法:
![{\displaystyle S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edc79f522ae0d2812b885105f588d170843ae8f)
這裡積分理解為在流形上的維持能量
為常數
的子集上進行。
如果流形 Q 有一個黎曼或者偽黎曼度量 g,那麼相應的定義可以用廣義坐標寫出。特別地,如果我們取度量為映射
![{\displaystyle g:TQ\to T^{*}Q\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3731b43ea13a660697c7f37570bdc471887058)
這樣便定義了
![{\displaystyle \Theta =g^{*}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43068cd977792c7c3f5813fb760a1ae5f80a4b64)
和
![{\displaystyle \Omega =-d\Theta =g^{*}\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3a9f0dd2b09df77d47899f0107d3386d5d9d37)
在 TQ 上的廣義坐標中
,我們有
![{\displaystyle \Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1e18aaaaf2ad02f019ba9ffdece05f1f1ea0c2)
以及
![{\displaystyle \Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb4a484aee50a6bc804690e8131d9a76c08a475)
度量使我們可定義
上的一個單位半徑球面(叢)。典範 1-形式限制到這些球面上組成了一個切觸結構;這個切觸結構可以用來生成關於這個度量的測地流。