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絕對連續

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在數學中,絕對連續是一個光滑性質,比連續一致連續都要嚴格。函數的絕對連續和測度的絕對連續都有定義。

函數的絕對連續

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定義

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設(X, d)為一個度量空間,並設I實直線R上的區間。函數f : IXI絕對連續,如果對於每一個正數,都存在一個正數,使得當I兩兩不交的子區間[xk, yk]的(有限或無限)序列滿足

時,就有:

所有從IX的絕對連續函數的集合記為AC(I; X)。

一個進一步的推廣是曲線f : IX的空間ACp(I; X),使得:

,對於所有的

對於Lp空間Lp(I; R)中的某個m

性質

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  • 兩個絕對連續函數的和與差也是絕對連續的。
  • 如果兩個函數是定義在一個有界的閉區間上,那麼它們的乘積也是絕對連續的。
  • 如果一個絕對連續的函數處處不為零,那麼它的倒數也是絕對連續的。
  • 如果f : [a,b] → X是絕對連續的,那麼它在[a,b]內是有界變差函數。
  • 如果f : [a,b] → R是絕對連續的,那麼它便具有盧津N性質。也就是說,對於任何使得,都有,其中表示R上的勒貝格測度
  • 如果f : IR是絕對連續的,那麼f幾乎處處具有導數,導數是勒貝格可積的,且其積分等於f的增量。
  • f : IR是絕對連續的,若且唯若它是連續和有界變差,且具有盧津N性質。

測度的絕對連續

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如果μν是相同測度空間上的測度,那麼我們稱μ關於ν絕對連續,如果對於每一個滿足ν(A) = 0的集合A都有μ(A) = 0,記為「μ ≪ ν」。用符號來表示,就是:

測度的絕對連續是自反傳遞的,但不是反對稱的,因此它是一個預序關係,而不是偏序關係。如果μ ≪ νν ≪ μ,那麼測度μν稱為等價的。

如果μ帶號測度複測度,那麼我們稱μ關於ν絕對連續,如果它的變差|μ|滿足|μ| ≪ ν;等價地,如果每一個滿足ν(A) = 0的集合A都是μ-零測集

拉東-尼科迪姆定理說明,如果μ關於ν絕對連續,且νσ-有限測度的,那麼μ便具有一個關於ν的密度,或「拉東-尼科迪姆導數」,這意味着存在一個ν-可測函數f,在[0, +∞)內取值,記為f = dμdν,使得對於任何ν-可測集A,都有:

在大部分應用中,如果我們只說n歐幾里得空間Rn上的測度是絕對連續的,而不具體說明它是關於哪一個測度絕對連續的,那麼通常就意味着是關於勒貝格測度絕對連續的。由於Rn關于勒貝格測度是σ-有限的,因此Rn上的絕對連續測度正好是具有密度的測度;特別地,絕對連續的概率測度正好是具有概率密度函數的測度。

兩個絕對連續的概念之間的關係

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實直線的波萊爾子集上的測度μ關于勒貝格測度絕對連續,若且唯若點函數

是一個局部絕對連續的實函數。也就是說,一個函數是局部絕對連續的,若且唯若它的分佈 (數學)|分佈導數是一個測度,關于勒貝格測度絕對連續

奇異測度

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通過勒貝格分解定理,每一個測度都可以分解成一個絕對連續測度與一個奇異測度的和。關於非(絕對連續)的測度,參見奇異測度。

例子

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以下的函數是處處連續的,但不是絕對連續的:

  • 無界區間內的函數ƒ(x) = x2

參考文獻

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  • Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. 2005. ISBN 3-7643-2428-7. 
  • Royden, H.L. Real Analysis. Collier Macmillan. 1968. ISBN 0-02-979410-2. 
  • Leoni, Giovanni (2009), ([//web.archive.org/web/20200324174132/http://bookstore.ams.org/gsm-105 頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) A First Course in Sobolev Spaces], Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8, MR2527916, Template:Zbl, ([//web.archive.org/web/20200324174131/http://www.maa.org/press/maa-reviews/a-first-course-in-sobolev-spaces 頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) MAA]
  • Nielsen, Ole A., An introduction to integration and measure theory, Wiley-Interscience, 1997, ISBN 0-471-59518-7 
  • Royden, H.L., Real Analysis third, Collier Macmillan, 1988, ISBN 0-02-404151-3