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討論:平方數

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除了100的倍數的平方,平方數有無可能末4位數以上連續相同?

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如題。末3位數連續相同是有可能的,例如382=1444,那麼除了平凡解以外,末4位數連續相同有無可能呢?末5位數連續相同呢?末6位數連續相同呢?

這等於問,平方數是否能以4444或44444或444444結尾。

25382=6441444這種是不算的,因為並沒有連續。-游蛇脫殼/克勞 2016年9月5日 (一) 12:53 (UTC)[回覆]

悉題,先從平方數的最後一位看起。

一個平方數的結尾除了0以外,有1(1,9),4(2,8),9(3,7),6(4,6),5(5)。

以1為結尾的平方數,十位必為偶數。

以9為結尾的平方數,十位必為偶數。

以5為結尾的平方數,十位必為2。

以6為結尾的平方數,十位必為奇數。

上方四種情況均不會出現大於4位最後數字相同的情況,即排除1111,9999,5555,6666以及更多連接的可能性。

以4為結尾的平方數,其構成x * 10000 + 4444的形式= 2^2 * (x * 2500 + 1111),若其為平方數,則x * 2500 + 1111也必須為平方數。

見上,因為11結尾的數字不是平方數,故以4為結尾的平方數不會出現4位以上連續的可能性。

至此,排除法完畢,僅余平凡解即0000。

以上。 Innocentius留言2016年9月5日 (一) 16:15 (UTC)[回覆]

謝謝!已將結論新增至平方數。-游蛇脫殼/克勞 2016年9月6日 (二) 14:42 (UTC)[回覆]
WP:OR?--Antigng留言2016年9月7日 (三) 02:11 (UTC)[回覆]
事實是這樣,不算原創研究,就好像13的平方是169,是計算的一種。-游蛇脫殼/克勞 2016年9月7日 (三) 07:38 (UTC)[回覆]
說是這樣說,還是找到了一個來源(見"重複的字尾/例題一/一個正整數的平方(即完全平方數)的字尾最多可以重複多少個不是0的數字?"段落),不過我還是覺得本討論的證明比較好:淺顯,且利用了條目已提過的性質(以1為結尾的平方數,十位必為偶數。以9為結尾的平方數,十位必為偶數。......)。-游蛇脫殼/克勞 2016年9月7日 (三) 08:20 (UTC)[回覆]

平方數的"性質"條目修正敘述

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編輯請求 2019-07-27

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請求已拒絕-- 娜娜奇🐰鮮果茶☎️·☘️2019年7月27日 (六) 10:37 (UTC)[回覆]

除了0跟1之外,4900是唯一的一個平方數,她剛好等於前幾個平方數的和。改成除了0跟1之外,4900是唯一一個等於「從1開始的連續正整數平方和」之平方數。意即

已確認 ,但未確認4900是否符合敘述中的唯一性。--Hyman2930留言2019年7月27日 (六) 09:15 (UTC)[回覆]

這等於求不定方程k(k+1)(2k+1)/6=n²的非負整數解,用Excel算了一下,k≤7000時,(k,n)只有(0.0), (1,1), (24,70)三組解,我會再多試一點。-游蛇脫殼/克勞 2019年7月27日 (六) 11:49 (UTC)[回覆]
k≤12000時依然只有三解,但發現1^2+2^2+3^2+......+7639^2非常接近385511^2,以及1^2+2^2+3^2+......+10566^2非常接近6270991^2,也算是一點小收穫。-游蛇脫殼/克勞 2019年7月27日 (六) 12:28 (UTC)[回覆]
  • 四角錐數平方數
    列出丟番圖方程有:
    對右式觀察得知,當且僅當之倍數時方有整數解。
    特別地,對各個乘數進行關於的倍數之討論。
    可知:
    • 為3之倍數時,有
    • 為3之倍數時,有
    • 為3之倍數時,有;(為3之倍數。
    故,無論如何中之一必定為3之倍數,且其他因數必須為平方數,
    • 因此對於滿足條件有六種:
    但,當以3除時僅可能存在余數0或2,代入發生矛盾。
    同理前4個公式均如此。
    解第五個公式時,得到特殊解,並且只有奇數c滿足,也就是說,存在有整數d和e滿足或者然而,會使矛盾。故只能有,使得以及,對於該方程,是唯一解。當時會有排除。時則有。為證明該解的特殊,有得到解對 [1]。對於第六種相對複雜,需要非平凡解的證明,引入橢圓函數。首先將原方程變形解決該問題,可尋求已知一普遍問題兩個橢圓方程。為求解,必須有其中r為非負數。雅可比橢圓函數,不做介紹。解出可以有當時,只有滿足此時僅有

此為根據俄文內容翻譯而成,準確性並不能完全保證,為做參照可以瀏覽ru:Задача о пушечных ядрах,獲得準確內容,來自Watson之證明,作爲內容補充亦有ma之證明此處尚未給出。--Rowe Wilson Frederisk Holme留言2019年7月27日 (六) 13:46 (UTC)[回覆]

(:)回應:我不明白為什麼要寫「當且僅當n(n+1)(2n+1)為6之倍數時方有整數解」這句,莫非有「當n(n+1)(2n+1)不為6之倍數」的時候嗎?我也看不出「n(n+1)(2n+1)恆為6之倍數」與解此不定方程有何關係。
證明「n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍數」是「當n為3之倍數.....」、「當(n+1)為3之倍數......」、「當(2n+1)為3的倍數......」這樣證的嗎?這算是窮舉嗎?在下認為這根本是先射箭再畫靶。所以對於再以下的論證,我只好說「不予置評」。謝謝大家!-游蛇脫殼/克勞 2019年7月27日 (六) 18:03 (UTC)[回覆]
  • 嗯,沒錯,證明是先射箭再畫靶,否則是解題行爲而不是證明。另外,證明為3之倍數為其一條件,即n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍數,也就是說要麽n是3的倍數,要麽(n+1),要麽(2n+1),所以列出下面6個算式時,必定至少有其一為a=3*k*b^2的形式(其中k為1或2),而2n+1不可能為3的倍數同時亦為2的倍數(不可能為偶數),故2n+1之前只能為1或者3。綜上,三個分式中必定會將2、3之因數分配給某一元,但是2不可能同時分配給2n+1,另外,為何需要6作為因數,應該很明顯,k/6=m^2,且m為整數,則k/6必定為整數。k只能為6之倍數。另外確實該數必定為6之倍數,此處證明有3為因數是為表明該處6隻能以3*2形式分配而已。其實這一步可以不寫,但是為了直觀寫上而已。如果對該過程瞭解可不必糾纏。--Rowe Wilson Frederisk Holme留言2019年7月27日 (六) 18:29 (UTC)[回覆]
@A2569875:可惜我英文很苦手,俄文完全不懂,橢圓函數更是只聽過、沒學過 囧rz……。但我不認為一定要提供有證明的可靠來源,才能把這句話寫進去,只要可靠來源說(24,70)是唯一的非平凡解就可以了吧?en:Cannonball_problem#Solution的兩條來源是可以用的。不然,可以像奇完全數或當初的費馬最後定理一樣,限定在某個範圍內,(24,70)是唯一的非平凡解,例如k≤15000時,唯一的正整數非平凡解。-游蛇脫殼/克勞 2019年7月28日 (日) 04:16 (UTC)[回覆]
附帶一提,Elementary proof一般是翻譯為「初等證明」吧?「基本證明」有點怪.....-游蛇脫殼/克勞 2019年7月28日 (日) 04:20 (UTC)[回覆]
,差一點點,連Excel都誤判這是一個整數。-游蛇脫殼/克勞 2019年8月13日 (二) 09:57 (UTC)[回覆]
  1. ^ Cohen, Henri. Number theory. New York: Springer. 2007. ISBN 9780387499222. OCLC 77795788.