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週期函數

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數學中,週期函數是無論任何獨立變數上經過一個確定的週期之後數值皆能重複的函數。我們日常所見的鐘錶指針以及月亮月相都呈現出週期性的特點。週期性運動是系統的運動位置呈現週期性的運動。

對於實數或者整數函數來說,週期性意味着按照一定的間隔重複一個特定部分就可以繪製出完整的函數圖。如果在函數中所有的位置都滿足

那麼,就是週期為的週期函數。非週期函數就是沒有類似週期的函數。

如果週期函數的週期為,那麼對於中的任意以及任意整數,有

,則。但是函數週期不一定是滿足上述等式的最小值,也可以是

的圖,二者的週期都是

一個簡單的例子是的小數變數:

其中有一些例子是鋸齒波方波以及三角形波

三角函數正弦函數餘弦函數都是常見的週期函數,其週期為傅立葉級數研究的就將任意的週期函數用合適的三角函數的和來表示。

複數函數可能會有兩個不相稱的週期,橢圓函數就是類似的函數。

通用定義[編輯]

封閉性運算上的一個集合,在中週期為T的週期函數是滿足如下條件的函數集合

對於中的所有,滿足

注意:除非可交換的,否則必須位於右側。

週期不是唯一的,的所有整數倍都是函數的週期。

週期序列[編輯]

一些自然出現的序列也是週期性的,如一些有理數中的循環小數,因此我們可以說序列中的週期只是通用定義的一種特例。

平移對稱[編輯]

如果用週期函數描述一件物體,如用位置的函數表示無限圖像的顏色,那麼函數的週期性就對應於物體的平移對稱

參見[編輯]

外部連結[編輯]