討論:動量算符

導引 1

一個非相對論性的自由粒子的薛定諤方程式為

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \Psi (x,\ t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\ t)\,\!$ 。

其中，$\hbar \,\!$ 是約化普朗克常數，$\Psi (x,\ t)\,\!$ 是粒子的波函數，$x\,\!$ 是粒子的位置，$t\,\!$ 是時間。

這薛定諤方程式的解答是一個平面波：

$\Psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}\,\!$ ，

其中，$k\,\!$ 是波數，$\omega \,\!$ 是角頻率。

根據德布羅意假說，自由粒子的波數與動量的關係是

$p=\hbar k\,\!$ 。

可是，

$k\Psi (x,t)={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!$ 。

因此，

$p\Psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!$ 。

所以，我們可以認定動量算符為

${\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ 。

妳上面引用p=hk 那是測量後的結果吧? 後來那些推導指式表示還是實際的測量 量p 算子才能和一個線性的算子扯上關係 請原編輯者把書念好!不要亂寫!

${\hat {P}}=h/i{\frac {d}{dx}}$ 但是de-Broglie的$p=\hbar k$不會等於${\hat {P}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {d}{dx}}$

• 謝謝您的批評指教。我也對這篇文章並不感到滿意，可是一直都沒有找到修改的時間與迫切性。這幾天重新閱讀了這篇文章，並且查閱了相關資料，得到許多感想。因此，特將這篇文章加以修改，給予更多的解釋，並置入參考來源。不知您覺得如何？懇求您寶貴的意見。— 老陳 (留言) 2010年5月16日 (日) 00:39 (UTC)

• 你好. 這是最新版的內容:

為了要達到此目標，勢必要令

${\hat {p}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi _{k}(x)\,\!$ 。

所以，可以認定動量算符的形式為

${\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ 。

你不覺得這樣推導是在湊答案嗎?

動量算符的推導應該要由古典的平移觀念推展開來. 對一個系統進行平移的動作,對稱性仍然維持,譬如當你做客把東主的花瓶轉了一圈,花瓶的花紋還是被轉了回來.:對稱不變性(invariance),這是物理普遍的現象不是嗎? 動量算符的嚴密推導要由平移算符開始,沒有那麼簡單.

導引 1

一個非相對論性的自由粒子的薛定諤方程式為

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \Psi (x,\ t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\ t)\,\!$ 。

其中，$\hbar \,\!$ 是約化普朗克常數，$\Psi (x,\ t)\,\!$ 是粒子的波函數，$x\,\!$ 是粒子的位置，$t\,\!$ 是時間。

這薛定諤方程式的解答是一個平面波：

$\Psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}\,\!$ ，

其中，$k\,\!$ 是波數，$\omega \,\!$ 是角頻率。

根據德布羅意假說，自由粒子的波數與動量的關係是

$p=\hbar k\,\!$ 。

可是，

$k\Psi (x,t)={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!$ 。

因此，

$p\Psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!$ 。

所以，我們可以認定動量算符為

${\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ 。

這個推導是正確的嗎? 我不相信! 理由很簡單,跟Shankar的說法差異太大! 台灣中正物理所某位研究生留

導引 2

在經典力學裏，動量是質量乘以位置隨時間的全導數：

$p=m{\frac {dx}{dt}}\,\!$ 。

在量子力學裏，修正:經由[Ehrenfest theorem]的古典極限,我們知道:$\langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle \,\!$ 。

假設這是正確的(修正:本來就是正確的啊!原編輯者沒有把Ehrenfest定理念熟!)，那麼，用積分方程式來表達，

$\langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\ dx\,\!$ ；

其中，$\Psi (x,\,t)\,\!$ 是波函數。

• 謝謝您的提醒，可是，經過仔細檢閱埃倫費斯特定理，我發現這定理是靠着動量算符與位置算符的正則對易關係來推導出動量期望值與位置的期望值之間的關係。也就是說，這正則對易關係計算已經應用了動量算符的形式。因此，使用埃倫費斯特定理會造成循環論證。所以，不能先使用這定理，只能靠假設來推導。— 老陳 (留言) 2010年5月16日 (日) 00:57 (UTC)

• 你是否有確實讀了這段文字?

==經典極限==

在經典極限，$\left\langle -\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx -\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}\,\!$ ，我們可以得到一組完全的量子運動方程式：

${\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle \,\!$ ，

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}\,\!$ 。

這組量子運動方程式，精確地對應於經典力學的運動方程式：

${\frac {dx}{dt}}=v\,\!$ ，

${\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\,\!$ 。

取「經典極限」，量子力學的定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。讓我們導引這經典極限是什麼？標記 $V\,'(x)\,\!$ 為 ${\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\,\!$ 。泰勒展開 $V\,'(x)\,\!$ 於 $\langle x\rangle \,\!$ ：

$V\,'(x)=V\,'(\langle x\rangle )+(x-\langle x\rangle )V\,''(\langle x\rangle )+{\frac {1}{2}}(x-\langle x\rangle )^{2}V\,'''(\langle x\rangle )+\ \dots \,\!$ 。

由於 $\langle x-\langle x\rangle \rangle =0\,\!$ ，$\langle x-\langle x\rangle \rangle ^{2}=\sigma _{x}^{2}\,\!$ ，

$\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ {\frac {\partial ^{3}V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle ^{3}}}\,\!$ 。

這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的，我們就可以取經典極限。而這誤差項目的大小相依於兩個數量。一個是量子態對於位置的不可確定性；另一個則是位勢隨着位置而變化的快緩。

• 之前提及的:$p=m{\frac {dx}{dt}}\,\!$

我之所以說這正確,而非假設是正確,是因為甚麼? 因為基於以上文字的敘述。當期望值vs.橫坐標的分佈很窄的時候,不用積分了。量子力學中不是在算期望值的時候會用到積分嗎? 當那些分佈不用積分的時候,表示退化成古典力學了。所以並不是要去假設他是正確的才能不能用。 你了解我說的意思嗎? 如有問題歡迎討論一番。