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以法國數學家米歇爾·羅爾命名的羅爾中值定理（英語：Rolle's theorem）是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，敘述如下：如果函數$f(x)$滿足

1. 在閉區間$[a,b]$上連續；
2. 在開區間$(a,b)$內可導；
3. 在區間端點處的函數值相等，即$f(a)=f(b)$，

那麼在$(a,b)$內至少有一點$\xi (a<\xi <b)$，使得$f^{\prime }(\xi )=0$。

證明

羅爾定理的幾何意義

首先，因為$f$在閉區間$[a,b]$上連續，根據極值定理，$f$在$[a,b]$上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端點$a$或$b$處取得，由於$f(a)=f(b)$，$f$顯然是一個常數函數。那麼對於任一點$\xi \in (a,b)$，我們都有$f^{\prime }(\xi )=0$。

現在假設$f$在$\xi \in (a,b)$處取得最大值。我們只需證明$f$在該點導數為零。

取$x\in (a,\xi )$，由最大值定義$f(\xi )\geq f(x)$，那麼${\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\geq 0$。令$x\rightarrow \xi ^{-}$，則$\lim _{x\rightarrow \xi ^{-}}{\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\geq 0$。因為$f$在$\xi$處可導，所以我們有$f'(\xi )\geq 0$。

取$x\in (\xi ,b)$，那麼${\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\leq 0$。這時令$x\rightarrow \xi ^{+}$，則有$\lim _{x\rightarrow \xi ^{+}}{\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\leq 0$，所以$f'(\xi )\leq 0$。

於是，$f'(\xi )=0$。

$f$在$\xi \in (a,b)$處取得最小值的情況同理。

例子

第一個例子

半徑為r的半圓

考慮函數

$f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad x\in [-r,r]$。

（其中r > 0。）它的圖像是中心位於原點的半圓。這個函數在閉區間[−r,r]內連續，在開區間(−r,r)內可導（但在終點−r和r處不可導）。由於f(−r) = f(r)，因此根據羅爾定理，存在一個導數為零的點。

第二個例子

絕對值函數的圖像

如果函數在區間內的某個點不可導，則羅爾定理的結論不一定成立。對於某個a > 0，考慮絕對值函數：

$f(x)=|x|,\qquad x\in [-a,a]$。

那麼f(−a) = f(a)，但−a和a之間不存在導數為零的點。這是因為，函數雖然是連續的，但它在點x = 0不可導。注意f的導數在x = 0從-1變為1，但不取得值0。

推廣形式

第二個例子表明羅爾定理下面的一般形式：

考慮一個實數，f(x)是在閉區間[a,b]上的連續函數，並滿足f(a) = f(b).如果對開區間(a,b)內的任意x，右極限

$f'(x+):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

而左極限

$f'(x-):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

在擴展的實數軸[−∞,∞]上存在，那麼開區間(a,b)內就存在c使得這兩個極限

$f'(c+)\quad$和$\quad f'(c-)$

中其中一個≥ 0，另一個≤ 0（在擴展的實數軸上）。如果對任何x左極限和右極限都相同，那麼它們對c也相等，於是在c處f的導函數存在且等於零。

不適用羅爾定理的反例

1. 在閉區間$[a,b]$上不連續。
2. 在開區間$(a,b)$上不可導。

參見

• 中值定理

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Rolle theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4