一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程,通常写成如下的形式:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec1040c683f37810b360c8879a41f0df61adcf5)
其中的x是要解的未知函数,t是函数的自变量,f是一个已知的连续函数。
一阶常微分方程在物理学、生物学、化学以及各种自然与社会科学都能见到,是常见的数学模型的重要构成部分。
一阶线性微分方程是一阶常微分方程中基础的一类。通常写成如下形式:
![{\displaystyle \forall t\in I,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)+b(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a658c4ef9bf9e4642c6bec92636625662a2fd1)
其中I是方程的求解范围,一般是实数集的子集。a和b是已知的连续函数。如果b是零函数,则称此方程为齐次的,否则称其为非齐次的。
一阶齐次线性微分方程:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4b032aa047fc323a8079f0a1aa980bda23c37e)
的解函数构成一个一维实线性空间:
![{\displaystyle S=\left\{x:\;t\mapsto ce^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u};\;\;c\in \mathbb {R} \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0657966168db4d9a7f8b05a75ae93ea085c2a58)
一阶非齐次线性微分方程
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)+b(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68721e596aab0494f05bd6f55defa13af5c1ac1)
的解函数构成一个一维实仿射空间:
![{\displaystyle {\begin{aligned}S'&=\left\{x:\;t\mapsto \left(c+\int ^{t}b(u)e^{-\int ^{u}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u\right)e^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u};\;\;c\in \mathbb {R} \right\}\\&=S+x^{*},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c558a316076bb70759c3cda678c39ba2bec9f85)
其中
![{\displaystyle x^{*}:\;t\mapsto e^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u}\int ^{t}b(u)e^{-\int ^{u}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u=\int ^{t}b(u)e^{\int _{u}^{t}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165ff8fda003abb5459b8b7f53684621f429b462)
是原微分方程的一个特解。
如果一个一阶常微分方程能写成如下形式:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)b(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e341476be2b0508c021fa695e523ce6330ce677)
则称其为变量分离方程。“变量分离”意为方程右端的部分可以分离成两个不同部分的乘积,其中一个只与自变量t相关,另一个则只与未知函数x相关。
变量分离函数可以变形为:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{b(x)}}=a(t)\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2aa49a1c2dad22524813aa0a08e1c4027ef3ed)
的微分形式。将两端同时积分,可以得到:
![{\displaystyle \int ^{x}{\frac {1}{b(u)}}\mathrm {d} u=\int ^{t}a(s)\mathrm {d} s+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee0c2d7f36bf7160cdfc0a4e1ab20eaaba1e28d)
这便是方程的通解。由于上述关系为隐函数关系,而不是
的形式,称为隐式解。
不少一阶常微分方程可以通过变量变换转化为变量分离方程,从而求解。
将一个普通的一阶常微分方程转写为微分的形式:
![{\displaystyle \mathrm {d} x=f(x,t)\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09908f9f7bb6c902819f9b18cd61bd042a5df84)
将t和x视为变量平等看待,可以将其看作是对称的一阶微分方程:
![{\displaystyle P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8dd79180d380d76545d2c2509dfd36981be2911)
如果上述方程中的左侧恰好是某个二元函数的全微分:
![{\displaystyle P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=\mathrm {d} U(x,t)={\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)\mathrm {d} x+{\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)\mathrm {d} t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376f55d32f035a4b9449db894f8fec8a5a8e9544)
那么隐函数:
![{\displaystyle U(x,t)=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01f0465edef34bea41b62fe62e94f9f173e5d75)
就是原微分方程的解函数,其中的c可以是任意常数。具有这样性质的微分方程被称作恰当微分方程。要使得一个一阶常微分方程是恰当微分方程,其中的函数P和Q必须一阶连续可微,并且满足以下的条件:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}Q(x,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8facad5e3798f72cc95be807f835d8e0656baa53)
而当以上条件满足时,也可以具体求出解函数的形式:
![{\displaystyle U(x,t)=\int ^{x}P(u,t)\mathrm {d} u+\int \left[Q(x,s)-\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\int ^{x}P(u,t)\mathrm {d} u\right|_{t=s}\right]\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e2668869504bad3368fa9f487e840b8a847286f)
如果方程
![{\displaystyle P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8dd79180d380d76545d2c2509dfd36981be2911)
中的函数P和Q不满足上述的关系式,则为了将其转化为恰当微分方程,会探讨能否通过添加适当的函数μ,使得:
![{\displaystyle \mu (x,t)P(x,t)\mathrm {d} x+\mu (x,t)Q(x,t)\mathrm {d} t=\mathrm {d} U(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf0ccaf501a11f830d13d21caa41476ab986715)
这样的函数μ称为方程的积分因子。可以证明,只要原方程有解函数存在,则积分因子也必然存在,而且不一定是唯一的。
很多情况下,需要讨论带有初值问题的一阶常微分方程,即:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t),\;\;x(t_{0})=x_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca466de1b6a3ea763fe7ab16e548c427dd58cf6)
是否有解。
设E为一个完备的有限维赋范向量空间,U为E中的一个开集,I是
中的一个区间。函数f是从U×I映射到E中的连续函数。柯西-利普希茨定理说明了,若函数f在U中满足利普希茨条件,也就是说,
![{\displaystyle \exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907408e50e2c8701fe68bb2ee0520d47a565348c)
那么对于给定的初始条件:
,
、
,微分方程存在一个解
,其中
是一个包含
的区间,
是一个从
映射到
的连续函数,满足初始条件和原微分方程。同时,满足初值条件的最大解唯一存在。