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一階常微分方程

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一階常微分方程數學中常見而基礎的一類微分方程,通常寫成如下的形式:

其中的x是要解的未知函數t是函數的自變量,f是一個已知的連續函數

一階常微分方程在物理學、生物學、化學以及各種自然與社會科學都能見到,是常見的數學模型的重要構成部分。

一階線性微分方程

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一階線性微分方程是一階常微分方程中基礎的一類。通常寫成如下形式:

其中I是方程的求解範圍,一般是實數集的子集。ab是已知的連續函數。如果b是零函數,則稱此方程為齊次的,否則稱其為非齊次的。

一階齊次線性微分方程:

的解函數構成一個一維實線性空間

一階非齊次線性微分方程

的解函數構成一個一維實仿射空間

其中

是原微分方程的一個特解。

變量分離方程

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如果一個一階常微分方程能寫成如下形式:

則稱其為變量分離方程。「變量分離」意為方程右端的部分可以分離成兩個不同部分的乘積,其中一個只與自變量t相關,另一個則只與未知函數x相關。

變量分離函數可以變形為:

的微分形式。將兩端同時積分,可以得到:

這便是方程的通解。由於上述關係為隱函數關係,而不是的形式,稱為隱式解

不少一階常微分方程可以通過變量變換轉化為變量分離方程,從而求解。

恰當微分方程

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將一個普通的一階常微分方程轉寫為微分的形式:

tx視為變量平等看待,可以將其看作是對稱的一階微分方程:

如果上述方程中的左側恰好是某個二元函數的全微分

那麼隱函數:

就是原微分方程的解函數,其中的c可以是任意常數。具有這樣性質的微分方程被稱作恰當微分方程。要使得一個一階常微分方程是恰當微分方程,其中的函數PQ必須一階連續可微,並且滿足以下的條件:

而當以上條件滿足時,也可以具體求出解函數的形式:

積分因子

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如果方程

中的函數PQ不滿足上述的關係式,則為了將其轉化為恰當微分方程,會探討能否通過添加適當的函數μ,使得:

這樣的函數μ稱為方程的積分因子。可以證明,只要原方程有解函數存在,則積分因子也必然存在,而且不一定是唯一的。

解的存在性

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很多情況下,需要討論帶有初值問題的一階常微分方程,即:

是否有解。

E為一個完備的有限維賦范向量空間UE中的一個開集I中的一個區間。函數f是從U×I映射到E中的連續函數。柯西-利普希茨定理說明了,若函數fU中滿足利普希茨條件,也就是說,

那麼對於給定的初始條件:,微分方程存在一個解,其中是一個包含的區間,是一個從 映射到的連續函數,滿足初始條件和原微分方程。同時,滿足初值條件的最大解唯一存在。

參見

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參考來源

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  • 王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松. 常微分方程. 高等教育出版社,第三版. 2006. ISBN 9787040193664.