一階常微分方程是數學中常見而基礎的一類微分方程,通常寫成如下的形式:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec1040c683f37810b360c8879a41f0df61adcf5)
其中的x是要解的未知函數,t是函數的自變量,f是一個已知的連續函數。
一階常微分方程在物理學、生物學、化學以及各種自然與社會科學都能見到,是常見的數學模型的重要構成部分。
一階線性微分方程是一階常微分方程中基礎的一類。通常寫成如下形式:
![{\displaystyle \forall t\in I,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)+b(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a658c4ef9bf9e4642c6bec92636625662a2fd1)
其中I是方程的求解範圍,一般是實數集的子集。a和b是已知的連續函數。如果b是零函數,則稱此方程為齊次的,否則稱其為非齊次的。
一階齊次線性微分方程:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4b032aa047fc323a8079f0a1aa980bda23c37e)
的解函數構成一個一維實線性空間:
![{\displaystyle S=\left\{x:\;t\mapsto ce^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u};\;\;c\in \mathbb {R} \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0657966168db4d9a7f8b05a75ae93ea085c2a58)
一階非齊次線性微分方程
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)+b(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68721e596aab0494f05bd6f55defa13af5c1ac1)
的解函數構成一個一維實仿射空間:
![{\displaystyle {\begin{aligned}S'&=\left\{x:\;t\mapsto \left(c+\int ^{t}b(u)e^{-\int ^{u}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u\right)e^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u};\;\;c\in \mathbb {R} \right\}\\&=S+x^{*},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c558a316076bb70759c3cda678c39ba2bec9f85)
其中
![{\displaystyle x^{*}:\;t\mapsto e^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u}\int ^{t}b(u)e^{-\int ^{u}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u=\int ^{t}b(u)e^{\int _{u}^{t}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165ff8fda003abb5459b8b7f53684621f429b462)
是原微分方程的一個特解。
如果一個一階常微分方程能寫成如下形式:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)b(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e341476be2b0508c021fa695e523ce6330ce677)
則稱其為變量分離方程。「變量分離」意為方程右端的部分可以分離成兩個不同部分的乘積,其中一個只與自變量t相關,另一個則只與未知函數x相關。
變量分離函數可以變形為:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{b(x)}}=a(t)\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2aa49a1c2dad22524813aa0a08e1c4027ef3ed)
的微分形式。將兩端同時積分,可以得到:
![{\displaystyle \int ^{x}{\frac {1}{b(u)}}\mathrm {d} u=\int ^{t}a(s)\mathrm {d} s+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee0c2d7f36bf7160cdfc0a4e1ab20eaaba1e28d)
這便是方程的通解。由於上述關係為隱函數關係,而不是
的形式,稱為隱式解。
不少一階常微分方程可以通過變量變換轉化為變量分離方程,從而求解。
將一個普通的一階常微分方程轉寫為微分的形式:
![{\displaystyle \mathrm {d} x=f(x,t)\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09908f9f7bb6c902819f9b18cd61bd042a5df84)
將t和x視為變量平等看待,可以將其看作是對稱的一階微分方程:
![{\displaystyle P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8dd79180d380d76545d2c2509dfd36981be2911)
如果上述方程中的左側恰好是某個二元函數的全微分:
![{\displaystyle P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=\mathrm {d} U(x,t)={\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)\mathrm {d} x+{\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)\mathrm {d} t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376f55d32f035a4b9449db894f8fec8a5a8e9544)
那麼隱函數:
![{\displaystyle U(x,t)=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01f0465edef34bea41b62fe62e94f9f173e5d75)
就是原微分方程的解函數,其中的c可以是任意常數。具有這樣性質的微分方程被稱作恰當微分方程。要使得一個一階常微分方程是恰當微分方程,其中的函數P和Q必須一階連續可微,並且滿足以下的條件:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}Q(x,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8facad5e3798f72cc95be807f835d8e0656baa53)
而當以上條件滿足時,也可以具體求出解函數的形式:
![{\displaystyle U(x,t)=\int ^{x}P(u,t)\mathrm {d} u+\int \left[Q(x,s)-\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\int ^{x}P(u,t)\mathrm {d} u\right|_{t=s}\right]\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e2668869504bad3368fa9f487e840b8a847286f)
如果方程
![{\displaystyle P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8dd79180d380d76545d2c2509dfd36981be2911)
中的函數P和Q不滿足上述的關係式,則為了將其轉化為恰當微分方程,會探討能否通過添加適當的函數μ,使得:
![{\displaystyle \mu (x,t)P(x,t)\mathrm {d} x+\mu (x,t)Q(x,t)\mathrm {d} t=\mathrm {d} U(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf0ccaf501a11f830d13d21caa41476ab986715)
這樣的函數μ稱為方程的積分因子。可以證明,只要原方程有解函數存在,則積分因子也必然存在,而且不一定是唯一的。
很多情況下,需要討論帶有初值問題的一階常微分方程,即:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t),\;\;x(t_{0})=x_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca466de1b6a3ea763fe7ab16e548c427dd58cf6)
是否有解。
設E為一個完備的有限維賦范向量空間,U為E中的一個開集,I是
中的一個區間。函數f是從U×I映射到E中的連續函數。柯西-利普希茨定理說明了,若函數f在U中滿足利普希茨條件,也就是說,
![{\displaystyle \exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907408e50e2c8701fe68bb2ee0520d47a565348c)
那麼對於給定的初始條件:
,
、
,微分方程存在一個解
,其中
是一個包含
的區間,
是一個從
映射到
的連續函數,滿足初始條件和原微分方程。同時,滿足初值條件的最大解唯一存在。