相交理论

相交理论（Intersection theory）是代数几何的主要分支之一，给出了给定代数簇的两个子簇的交点信息。^[1]簇理论更老，源于曲线上的贝祖定理和消去理论；拓扑理论更快地达到了确定形式。

相交理论仍在不断发展。目前的主要重点是：虚基本循环、量子相交环、格罗莫夫-威滕量及将相交理论从概形推广到叠。^[2]

拓扑相交形式

对维度为 $2 n$ 的连通有向流形 $M$ ，相交形式是通过对 $H 2 n (M, \partial M)$ 中的基类 $[M]$ 的上积求值，从而定义在第 $n$ 上同调群（通常称作“中维”）。确切地说，有双线性形式

\lambda _{M}\colon H^{n}(M,\partial M)\times H^{n}(M,\partial M)\to \mathbf {Z}

由下式给出

\lambda _{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf {Z}

其中

\lambda _{M}(a,b)=(-1)^{n}\lambda _{M}(b,a)\in \mathbf {Z} .

$n$ 为偶数时这是对称双线性形式（因此 $2 n = 4 k$ ），这时 $M$ 的符号数被定义为形式的符号数； $n$ 为奇数时，则定义为交替形式。这些形式可统称为ε对称形，当中 $ε = (-1) n = \pm1$ 分别表示对称形和斜对称形。某些情况下，可以将形式细化为 $ε$ 二次型，但需要额外数据，如切丛的框架。也可以去除有向性条件，改用 $Z /2 Z$ 系数。

这些形式是重要的拓扑不变量。例如，迈克尔·弗里德曼的一个定理指出，在同胚意义上，单连通紧4维流形（几乎）由其相交形式决定。

由庞加莱对偶性，我们可以从几何角度思考这个问题。试为 $a$ 、 $b$ 的庞加莱对偶择有代表性的 $n$ 维子流形 $A$ 、 $B$ ，则 $λ M (a, b)$ 是 $A$ 、 $B$ 的有向交数（oriented intersection number），是良定义的，因为 $A$ 、 $B$ 维数之和等于 $M$ 的维数，所以它们通常交于孤立的点。这就是“相交形式”这一术语的由来。

代数几何中的相交理论

威廉·富尔顿在《相交理论》（1984）中写道：

... 若 $A$ 、 $B$ 是非奇异簇 $X$ 的子簇，那么交积 $A \cdot B$ 应是代数循环的等价类，代数循环与 $A \cap B$ 、以及 $A$ 、 $B$ 在 $X$ 中的几何位置密切相关。有两种情况最著名。若相交是真相交（proper），即 $dim(A \cap B) = dim A + dim B - dim X$ ，则 $A \cdot B$ 是 $A \cap B$ 的不可约成分的线性组合，系数是相交乘数。在另一个极端，若 $A = B$ 是非奇异子簇，则自交公式表示 $A \cdot B$ 由 $X$ 中 $A$ 的法丛的顶陈类表示。

安德烈·韦伊《代数几何基础》（1946）中主要关注的是在一般情况下给出相交乘法的定义。1920年代，巴特尔·伦德特·范德瓦尔登的工作已经涉及这一问题；在意大利代数几何学派中，这观点已广为人知，但基础问题并未以同样的精神得到解决。

移动循环

要使循环 $V$ 、 $W$ 的相交机制运行良好，就不能只取循环的交集 $V \cap W$ 。若两个循环处于“良位置”，则“交积” $V \cdot W$ 就应包含两个子簇的交集。循环若处于“不良位置”，例如平面上的两条平行线，或包含直线的平面（在3维空间相交），相交都应该只有一个点，因为若要移动一个循环，这就是交点。两循环 $V$ 、 $W$ 的交集 $V \cap W$ 的余维若等于 $V$ 、 $W$ 余维之和，就称相交为“真相交”（proper intersection）。因此，我们使用循环上适当等价关系的“移动循环”概念。等价必须足够广，以至任给两个循环 $V$ 、 $W$ 都有等价循环 $V'$ 、 $W'$ 使相交 $V' \cap W'$ 为真相交。当然，另一方面，对第二等价的 $V''$ 、 $W''$ ， $V' \cap W'$ 需要等价于 $V'' \cap W''$ 。

就相交理论而言，“有理等价”是最重要的一种。简言之，若在簇 $X$ 的 $(r + 1)$ 维子簇 $Y$ 上有有理函数 $f$ ，则 $X$ 上的两 $r$ 维循环有理等价；其中 $Y$ 是函数域 $k (Y)$ 的元素或等价于函数 $f : Y \to P 1$ ，使得 $V - W = f -1 (0) - f -1 (\infty)$ （其中 $f -1 (\cdot)$ 用乘法计算）。有理等价满足上述要求。

交乘

定义循环的交乘的指导原则是一定意义上的连续型。请看下面这个简单例子：抛物线 $y = x 2$ 和轴 $y = 0$ 的交点应为 $2 \cdot (0, 0)$ ，因为若其中一个循环移动、接近所述位置时，两个交点恰好汇聚于 $(0, 0)$ （图中只描绘了方程的实解，会引起误解）。

第一个令人满意的交乘定义由让-皮埃尔·塞尔给出：令周围簇（ambient variety） $X$ 光滑（或所有局部环都正则），接着令 $V$ 、 $W$ 都为（不可还原的闭）子簇，使其相交为真相交。这个构造是局部的，因此簇可用 $X$ 的坐标环中的两个理想 $I$ 、 $J$ 表示。设 $Z$ 是交集 $V \cap W$ 中的一个不可约成分， $z$ 为其一般点。则 $Z$ 在交积 $V \cdot W$ 中的乘法定义为

\mu (Z;V,W):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{X,z}}{\text{Tor}}_{i}^{{\mathcal {O}}_{X,z}}({\mathcal {O}}_{X,z}/I,{\mathcal {O}}_{X,z}/J),

函子环的挠群（torsion group） $z$ 中的 $X$ 的局部环长度上的交替和，对应子簇。这个表达式也称作“塞尔Tor公式”。注释：

第一个和
$\left({\mathcal {O}}_{X,z}/I\right)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,z}}\left({\mathcal {O}}_{X,z}/J\right)={\mathcal {O}}_{Z,z}$

的长度是对乘法的“天真”猜测；但正如塞尔指出的，这还不充分。
和是有限的，因为正则局部环 ${\mathcal {O}}_{X,z}$ 具有有限的Tor维度。
若 $V$ 、 $W$ 的相交不是真相交，则上述交乘的结果将为0。若是真相交，则其严格为正。（这两点从定义看并不明显）
用谱序列可以证明 $μ (Z; V, W) = μ (Z; W, V)$ 。

周环

周环是循环模有理等价所得的群，以及下面的交换交积：

V\cdot W:=\sum _{i}\mu (Z_{i};V,W)Z_{i}

其中V、 W 横截着相交，而 $V\cap W=\cup _{i}Z_{i}$ 是交集的不可约分解。

自交

给定两子簇 $V$ 、 $W$ ，可取其相交 $V \cap W$ ，但也可以定义单个子簇的自交，方法要微妙些。

例如，给定面 $S$ 上的曲线 $C$ ，其与自身的相交就是自身： $C \cap C = C$ 。这虽然对，但不够好：任给曲面上两条不同的曲线（没有共同分量），它们相交于某个点集。可以数出点集包含的点数，得到“交数”。我们希望能对给定曲线左同样的处理：不同曲线的相交就像两个数相乘： $xy$ ，自交就像乘方： $x 2$ 。形式上，这种类比就像是对称双线性形式（乘法）与二次型（乘方）。

其几何解法是，将曲线 $C$ 与略微偏移的自身相交。在平面上这意味着将曲线 $C$ 向某方向平移，但一般情况下我们谈论的是取与 $C$ 线性等价的曲线 $C'$ ，计算交 $C \cdot C'$ 的交点数，记作 $C \cdot C$ 。这不同于无关曲线 $C$ 、 $D$ 的情形，前者的实际交点取决于 $C'$ 的选择，但 $C''$ 的“自交点”可解释为 $C$ 上的 $k$ 个一般点，且 $k = C \cdot C$ 。更恰当地说， $C$ 的自交点是 $C$ 的一般点，乘法为 $C \cdot C$ 。

或者，也可通过对偶话来代数地“解”这个问题，并查看 $[C] \cup [C]$ 的类——这既给出了一个数，又提出了几何解释问题。传递到上同调类，类似于用线性系统代替曲线。

自交数可以为负，如下所示。

例子

考虑射影空间 $P 2$ 中的直线 $L$ ：其自交数为1，因为所有直线与之相交1次。可以将 $L$ 推到 $L'$ ，对任意的 $L'$ 的选择都有 $L \cdot L' = 1$ ，于是 $L \cdot L = 1$ 。就相交形式而言，我们说平面有 $x 2$ 类型的相交形式（只有一类直线，且都互相相交）。

注意在仿射平面上，可以将 $L$ 推移到平行线上，于是交点数取决于推离的选择。有人说“仿射平面没有很好的相交理论”，而非射影簇上的相交理论要困难得多。

$P 1 \times P 1$ （也可解释为 $P 3$ 中非奇异二次曲面 $Q$ ）上的直线自交为0，因为直线可以从自身移开（是直纹曲面）。就相交形式而言，可以说 $P 1 \times P 1$ 有一个 $xy$ 类型——有2类基本直线，相交于1点（ $xy$ ），但自交为零（没有 $x 2$ 或 $y 2$ 项）。

拉开

自交数的一个重要例子是拉开的特殊曲线，是双有理几何中的一个核心运算。给定代数曲面 $S$ ，在一点拉开，会产生一条曲线 $C$ ，其属（genus）为0，自交数为-1（并不明显）。推论： $P 2$ 、 $P 1 \times P 1$ 是最小曲面（不是拉开），因为它们没有任何具有负自交的曲线。事实上，卡斯泰尔诺沃收缩定理给出了相反的情况：每条 $(-1)$ 曲线都是某个拉开的特殊曲线。

另见

引用

^ Eisenbud & Harris 2016，第14页.
^ Eisenbud & Harris 2016，第2页.

参考文献

Gathman, Andreas, Algebraic Geometry, [2018-05-11], （原始内容存档于2016-05-21）
Tian, Yichao, Course Notes in Intersection Theory (PDF) ^{[失效链接]}

书目

Eisenbud, David; Harris, Joe. 3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry. Cambridge University Press. 2016. ISBN 978-1-107-01708-5.
Fulton, William, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-62046-4, ISBN 978-0-387-98549-7 MR 1644323
Fulton, William; Serge, Lang, Riemann-Roch Algebra, ISBN 978-1-4419-3073-6
Serre, Jean-Pierre, Algèbre locale. Multiplicités, Cours au Collège de France, 1957--1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Lecture Notes in Mathematics 11, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1965, MR 0201468

[FOOTNOTEEisenbudHarris201614-1] Eisenbud & Harris 2016，第14页.

[FOOTNOTEEisenbudHarris20162-2] Eisenbud & Harris 2016，第2页.

[1]

[2]