费马原理

皮埃尔·德·费马

费马原理（英语：Fermat's principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数的拐点。 最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。

费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”：光沿着所需时间为平稳的路径传播。平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

费马原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从费马原理导出以下三个几何光学定律：

1. 光线在真空中的直线传播。
2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射， 入射角必须等于出射角。
3. 光的折射定律（斯涅尔定律）。

最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，所有这些路径的光线传播时间都相等。

概述

光线从点Q传播至点O时，会被半圆形或混合形镜子反射，最终抵达点P。

费马原理更正确的版本应是“平稳时间原理”。对于某些状况，光线传播的路径所需的时间可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。

• 平面镜：任意两点的反射路径光程是最小值。
• 半椭圆形镜子：其两个焦点的光线反射路径不是唯一的，光程都一样，是最大值，也是最小值。
• 半圆形镜子：其两个端点Q、P的反射路径光程是最大值。
• 如最右图所示，对于由四分之一圆形镜与平面镜组合而成的镜子，同样这两个点Q、P的反射路径的光程是拐值。

光的反射

平面反射

光在平面上的反射

平面反射的光程

光从P点出发射向x点，反射到Q点。

P 点到 x点的距离 $d1={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$

Q 点 到 x 点的距离 $d2={\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}$

从点P到点Q的光程 D 为

$D={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}$ 。

根据费马原理，光线在真空中传播的路径是光程为极值的路径。

取光程 $D$ 对 $x$ 的导数，令其为零：

$D'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}$$+{\frac {-l+x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=0$ 。

但其中

${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}$

$-{\frac {l-x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=-\sin \theta _{2}$ 。

即

$\sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0$

$\theta _{1}=\theta _{2}$

这就是反射定律

半球面反射

光线从点Q传播至点O时，会被半圆形镜子反射，最终抵达点P。

R=5 半圆镜的反射点在圆的顶点，光程最长=2.82R

球面的半径=R

光线从直径一端Q射向球面，反射到直径另一端P

光程$D={\sqrt {y^{2}+(R+x)^{2}}}+{\sqrt {y^{2}+(-x+R)^{2}}}$

因$y^{2}=R^{2}-x^{2}$;

所以

$D={\sqrt {2R^{2}+2xR}}+{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}$

根据费马原理， D'=0

$D'={\frac {R}{\sqrt {2R^{2}+2xR}}}-{\frac {R}{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}=0$

解之， 得 $x=0$，代入D得到：

光程$D=2{\sqrt {2}}R$，乃是一个最大值=2.8R；（最小值光程是从直径一端到Q另一端P，光程=2R）

光的折射

光线从介质１的点Q，在点Ｏ传播进入介质２，发生折射，最后抵达介质２的点P。

如右图所示，设定介质１、介质２的折射率分别为 $n_{1}$ 、$n_{2}$ ，光线从介质１在点Ｏ传播进入介质２，则斯涅尔定律以方程表达为

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$ ；

其中，$\theta _{1}$ 为入射角，$\theta _{2}$ 为折射角。

从费马原理，可以推导出斯涅尔定律。光线在介质１与介质２的速度 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 分别为

$v_{1}=c/n_{1}$ 、

$v_{2}=c/n_{2}$ ；

其中，$c$ 是真空光速。

由于介质会减缓光线的速度，折射率 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 都大于 $1$ 。

从点Q到点P的传播时间 $T$ 为

$T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}$ 。

根据费马原理，光线传播的路径是所需时间为极值的路径，取传播时间 $T$ 对 $x$ 的导数，设定其为零：

${\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0$ 。

其中 ${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}$

${\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}$

因此得到传播速度与折射角的关系式：

${\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0$ 。

将传播速度与折射率的关系式代入，就会得到斯涅尔定律：

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$ 。

运动学

主条目：最速降线问题

伯努利家族的约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为摆线。

参阅

• 费马
• 哈密顿原理
• 最小作用量原理
• 路径积分表述
• 惠更斯－菲涅耳原理