第九星形二十面体

f₂星形二十面体
类别	星形二十面体; 收录于《五十九种二十面体》中
识别
名称	f2星形二十面体
参考索引	16/59
数学表示法
杜瓦表示法; （英语：Du Val's notation）	f2
组成与布局
面的种类
对称性
对称群	Ih
	查; 论; 编;

第九星形二十面体
类别	星形二十面体; 收录于《五十九种二十面体》中
识别
名称	第九星形二十面体
参考索引	W34, 30/59
数学表示法
杜瓦表示法; （英语：Du Val's notation）	De2f2
对称性
对称群	Ih
图像
类别	均匀多面体对偶
	查; 论; 编;

在几何学中，第九星形二十面体是一种星形二十面体，即正二十面体的星形化体，为正二十面体的面向外延伸并相交所形成的第九种立体^[1]，其外观为12个向外突出的五角锥状尖刺^[2]^[3]。虽然称为二十面体，但其外观为由20组3个分离的筝形构成^[4]。有两种均匀多面体的对偶多面体外观与第九星形二十面体相同，分别为大三角六边形二十面体（大双三斜三十二面体的对偶多面体）与内侧三角六边形二十面体（双三斜十二面体的对偶多面体）^[5]^[6]，其在外观上无法区别。在温尼尔的著作《对偶模型》（Dual Models）中，将第九星形二十面体描述为外观与《多面体模型（维基数据所列：Q108336243）》提到的大三角六边形二十面体和内侧三角六边形二十面体相同^[7]^:42。在《五十九种二十面体》中亦无明确提及其属于哪一个立体，但可以根据前后文判断出其指的是大三角六边形二十面体与内侧三角六边形二十面体的其中之一，由于有两种外观相同的立体，也因此其中一种与之外观相同的立体有时被描述为“遗失的星形二十面体”。^[8]^[9]

构成

第九星形二十面体在杜瓦记号中可以用De₂f₂来表示，^[10]这代表其包含了星形二十面体中的D胞、e₂胞和f₂胞，即从中间数来的第3、第6和第8个胞。^[11]

面的组成

第九星形二十面体由20组3个分离的筝形构成。^[4]

大三角六边形二十面体

大三角六边形二十面体是大双三斜三十二面体的对偶多面体，在对偶模型中，其编号为U47。其由20个自相交的六边形（外观为三角星）组成，共有20个面、60条边和32个顶点。在其32个顶点中，有12个顶点在立体外部，20个顶点隐没在立体内部。^[5]

其面的六边形交错地由2种角构成，分别为 $\arccos({\frac {1}{4}})-60^{\circ }\approx 15.522\,487\,814\,07^{\circ }$ 和 $\arccos(-{\frac {1}{4}})\approx 104.477\,512\,185\,93^{\circ }$ 。六个角的内角和是 $360^{\circ }$ 而非一般六边形的 $720^{\circ }$ ，因为这格形状绕行其几何中心2圈。其二面角为 $\arccos(-{\frac {1}{3}})\approx 109.471\,220\,634\,49$ 。

内侧三角六边形二十面体

内侧三角六边形二十面体是双三斜十二面体的对偶多面体，在对偶模型中，其编号为U41。其由20个等边六边形组成，共有20个面、60条边和24个顶点。在其24个顶点中，有12个顶点在立体外部，12个顶点隐没在立体内部。^[6]

其面的六边形交错地由2种角构成，分别为 $\arccos({\frac {1}{4}})-60^{\circ }\approx 15.522\,487\,814\,07^{\circ }$ 和 $\arccos(-{\frac {1}{4}})+120^{\circ }\approx 224.477\,512\,185\,93^{\circ }$ ，由于没有自相交的情形，其内角和同于一般的六边形 $720^{\circ }$ 。其二面角为 $\arccos(-{\frac {1}{3}})\approx 109.471\,220\,634\,49$ 。

内侧三角六边形二十面体与大三角六边形二十面体不同。内侧三角六边形二十面体在拓朴学终能对应到一个抽象的正多面体，相当于五阶六边形镶嵌的商空间，其可以将作为内侧三角六边形二十面体中的凹六边形面进行拓朴变形成正六边形而构造出五阶六边形镶嵌，因此在另外一个索引中也被看作是一种抽象（英语：Abstract_polytope）的正多面体^[12]：

相关多面体

f₂星形二十面体

最外层的胞为f₂的星形二十面体皆会有相近的形状。单纯由f₂胞所组成的立体为由12个分离的五方偏方面体结构所组成。^[13]^[14]其包含了星形二十面体的第7与第8胞。^[15]

组成f₂星形二十面体的五方偏方面体
f₂的星状图

Af₂星形二十面体

f₂的星形二十面体是一个分离的几何结构，而若将每个分离结构的最内侧顶点互相连接，则其将变成一个单一的立体。由于其包括了星形二十面体的核心胞，因此这种立体在杜瓦记号中可以用Af₂表示。^[16]由于这种立体并未收录于《五十九种二十面体》中，因此又被描述为“遗失的二十面体”^[17]

Af₂星形二十面体
Af₂的星状图

Df₂星形二十面体

Df₂星形二十面体外观为六复合五方偏方面体与f₂星形二十面体的组合，是《五十九种二十面体》中所提到米勒规则的反例。这个立体最早由布里奇（N.J. Bridge）于在其著作中说明，^[18]后来被收录于盖伊（Inchbald, Guy）的《遗失的二十面体》中。^[17]

f₂星形二十面体
六复合五方偏方面体
Df₂星形二十面体

其他f₂星形二十面体

名称及编号	胞	星状图	立体图
16 （《五十九种二十面体》）	f₂
18 （《五十九种二十面体》）	e₂f₂
28 （《五十九种二十面体》）	Ef₂
第九星形二十面体 30 （《五十九种二十面体》） 34（《多面体模型（维基数据所列：Q108336243）》）	De₂f₂
第十三星形二十面体 51（《五十九种二十面体》） 38（《多面体模型（维基数据所列：Q108336243）》）	e₂f₁f₂
52（《五十九种二十面体》）	De₂f₁f₂
53（《五十九种二十面体》）	Ef₁f₂

参见

《五十九种二十面体》

参考文献

^ Kim Freeman. Grand Designs and Structures. Mahobe Resources (NZ) Ltd. [2021-08-30]. ISBN 9781877489266. （原始内容存档于2022-01-28）.
^ A. Harry Wheeler. Ninth Stellation of the Icosahedron. americanhistory.si.edu. [2021-08-30]. （原始内容存档于2021-08-30）.
^ Leslie Lewis. Ninth Stellation of the Icosahedron. How-to-Build-Polyhedra. [2021-08-30]. （原始内容存档于2021-08-30）.
^ ^4.0 ^4.1 Ninth stellation of the icosahedron. polyhedr.com. [2021-08-30]. （原始内容存档于2021-08-30）.
^ ^5.0 ^5.1 Weisstein, Eric W. (编). Great Triambic Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ ^6.0 ^6.1 Weisstein, Eric W. (编). Medial Triambic Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208
^ Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11 [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-13）. Index Number: 303, Precursor: BnGn, Du Val symbol: De₂f₂
^ G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.
^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F., The fifty-nine icosahedra 3rd, Tarquin, 1999, ISBN 978-1-899618-32-3, MR 0676126 p. 259 (1st Edn University of Toronto (1938))
^ Stellation No. 31 of the Icosahedron. mathconsult.ch. [2021-08-31]. （原始内容存档于2021-08-31）.
^ David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密歇根大学. [2013-05-21]. （原始内容存档于2016-03-04）.
^ Stellations of the Icosahedron. brokk.me.uk. [2021-09-01]. （原始内容存档于2018-03-21）.
^ Inchbald, Guy. In search of the lost icosahedra. The Mathematical Gazette (Cambridge University Press). 2002, 86 (506): 208–215 [2021-09-01]. （原始内容存档于2021-06-08）.
^ Stellation No. 33 of the Icosahedron. mathconsult.ch. [2021-08-31]. （原始内容存档于2021-08-31）.
^ Inchbald, Guy. Icosahedral precursors, New stellation criteria. steelpillow.com. 2016 [2021-09-01]. （原始内容存档于2021-10-29）.
^ ^17.0 ^17.1 Inchbald, Guy. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006年7月11日 [2016年3月18日]. （原始内容存档于2016年3月13日）.
^ Bridge, NJ. Faceting the dodecahedron. Acta Crystallographica Section A: Crystal Physics, Diffraction, Theoretical and General Crystallography (International Union of Crystallography). 1974, 30 (4): 548–552.

[3] Kim Freeman. Grand Designs and Structures. Mahobe Resources (NZ) Ltd. [2021-08-30]. ISBN 9781877489266. （原始内容存档于2022-01-28）.

[americanhistory.si.edu-4] A. Harry Wheeler. Ninth Stellation of the Icosahedron. americanhistory.si.edu. [2021-08-30]. （原始内容存档于2021-08-30）.

[5] Leslie Lewis. Ninth Stellation of the Icosahedron. How-to-Build-Polyhedra. [2021-08-30]. （原始内容存档于2021-08-30）.

[polyhedr-6] 4.0 ^4.1 Ninth stellation of the icosahedron. polyhedr.com. [2021-08-30]. （原始内容存档于2021-08-30）.

[MathWorld_GreatTriambicIcosahedron-7] 5.0 ^5.1 Weisstein, Eric W. (编). Great Triambic Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[MathWorld_MedialTriambicIcosahedron-8] 6.0 ^6.1 Weisstein, Eric W. (编). Medial Triambic Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[Wenninger_1983-9] Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208

[10] Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11 [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-13）. Index Number: 303, Precursor: BnGn, Du Val symbol: De₂f₂

[11] G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.

[Coxeter_et_al._(1938)-12] Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F., The fifty-nine icosahedra 3rd, Tarquin, 1999, ISBN 978-1-899618-32-3, MR 0676126 p. 259 (1st Edn University of Toronto (1938))

[13] Stellation No. 31 of the Icosahedron. mathconsult.ch. [2021-08-31]. （原始内容存档于2021-08-31）.

[14] David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密歇根大学. [2013-05-21]. （原始内容存档于2016-03-04）.

[17] Stellations of the Icosahedron. brokk.me.uk. [2021-09-01]. （原始内容存档于2018-03-21）.

[inchbald2002search-18] Inchbald, Guy. In search of the lost icosahedra. The Mathematical Gazette (Cambridge University Press). 2002, 86 (506): 208–215 [2021-09-01]. （原始内容存档于2021-06-08）.

[19] Stellation No. 33 of the Icosahedron. mathconsult.ch. [2021-08-31]. （原始内容存档于2021-08-31）.

[inchbald2016search-20] Inchbald, Guy. Icosahedral precursors, New stellation criteria. steelpillow.com. 2016 [2021-09-01]. （原始内容存档于2021-10-29）.

[lost-21] 17.0 ^17.1 Inchbald, Guy. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006年7月11日 [2016年3月18日]. （原始内容存档于2016年3月13日）.

[bridge1974faceting-22] Bridge, NJ. Faceting the dodecahedron. Acta Crystallographica Section A: Crystal Physics, Diffraction, Theoretical and General Crystallography (International Union of Crystallography). 1974, 30 (4): 548–552.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

构成