圖冊

「轉移函數」重新導向至此。關於描述系統輸入與輸出之間關係的函數，請見「遞移函數」。

在數學，特別是在拓撲學中，一個圖冊（英語：atlas）描述了一個流形如何裝備一個微分結構。每一小塊由一個卡（英語：chart）給出（也稱為坐標卡，coordinate chart，或局部坐標系，local coordinate system）。以圖冊來定義流形的概念由夏爾·埃雷斯曼於1943年所提出。

卡

流形 ${\mathcal {M}}$ 上的一個卡（或區圖）是 ${\mathcal {M}}$ 的一個開集 $U$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 中開集 $V$ 的一個同胚映射$\varphi :U\to V$。

卡的定義與圖冊的定義密切相關。

定義

流形 ${\mathcal {M}}$ 上的一個圖冊是一族 ${\mathcal {M}}$ 上的卡 ${\mathcal {A}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}$，使得其定義域覆蓋整個 ${\mathcal {M}}$ 。

轉移映射

如果 $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ 與 $(U_{\beta },\varphi _{\beta })$ 是 ${\mathcal {M}}$ 的兩個卡，使得 $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ 非空，則定義了轉移映射（transition map）

$$\varphi _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }),$$其中 $\varphi _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}$。

因為 $\varphi _{\alpha }$ 與 $\varphi _{\beta }$ 都是同胚，轉移映射也是同胚。所以，轉移映射已經賦予了某種相容性，使得從一個卡上的坐標系變到另一個卡上的坐標系是連續的。

兩個有重疊的卡 $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ 與 $(U_{\beta },\varphi _{\beta })$ 是光滑協調的，如果他們之間的轉移映射是從歐幾里得空間到自身的光滑映射。

定義了這樣概念以後，如果 ${\mathcal {M}}$ 上的一個圖冊中任意兩個有重疊的卡之間的轉移映射是光滑協調的，則稱這樣的圖冊為光滑圖冊。

設 ${\mathcal {A}}$ 與 ${\mathcal {B}}$ 是 ${\mathcal {M}}$ 上的兩個光滑圖冊。如果${\mathcal {A}}$ 中任意的一個卡與 ${\mathcal {B}}$ 中所有重疊的卡都是光滑協調的，則稱 ${\mathcal {A}}$ 與 ${\mathcal {B}}$ 是光滑協調的。如果這樣，則 ${\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}$ 也是 ${\mathcal {M}}$ 上的一個光滑圖冊。光滑圖冊的概念給出了一個等價關係，使得可以考慮光滑協調圖冊的等價類，稱為極大圖冊。一個流形 ${\mathcal {M}}$ 與一個 ${\mathcal {M}}$ 上的極大圖冊 ${\mathcal {A}}$ 可稱為有一個光滑結構。在高維，拓撲流形可能具有不同的光滑結構。第一個例子是約翰·米爾諾發現的怪球面，一個同胚於，但不微分同胚於7維球面的流形。

一般地，用流形的極大圖冊做計算是不實用的，我們只需要選定一個特定的光滑圖冊。定義從一個流形到另一個流形的光滑映射時需要用到極大圖冊。

轉移映射的可微性條件可以弱化，所以我們可以只要求轉移函數為k-次連續可微；或者加強，所以我們要求轉移映射為實解析的。相應地，這便給出了流形上的 $C^{k}$ 或解析結構。類似地，我們可以定義複流形要求轉移映射為全純的。

參考文獻

• Lee, John M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. 2006. ISBN 978-0-387-95448-6. 
• Sepanski, Mark R. Compact Lie Groups. Springer-Verlag. 2007. ISBN 978-0-387-30263-8. 

外部連結

• Atlas（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Rowland, Todd