導子
導子(英語:derivation)在抽象代數中是指代數上的一個函數,推廣了導數算子的某些特徵。明確地,給定一個環或域 k 上一個代數 A,一個 k-導子是一個 k-線性映射 D: A → A,滿足萊布尼茲法則:
更一般地,從 A 映到 A-模 M 的一個 k-線性映射 D,滿足萊布尼茲法則也稱為一個導子。A 所有到自身的 k-導子集合記為 Derk(A)。從 A 到 A-模 M 的所有 k-導子集合記為 Derk(A,M)。
導子在不同的數學領域以許多不同的面貌出現。關於一個變量的偏導數是 Rn 上實值可微函數組成的代數上的一個 R-導子。關於一個向量場的李導數是可微流形上可微函數代數上的 R-導子;更一般地,它是流形上張量代數的導子。平徹爾導數是一個抽象代數上的導子的例子。如果代數 A 非交換,則關於 A 中一個元素的交換子定義了 A 到自身的線性映射,這是 A 的一個 k-導子。一個代數 A 裝備一個特定的導子 d 組成了一個微分代數,這自身便是一些研究領域的一個重要對象,比如微分伽羅瓦理論。
性質
[編輯]萊布尼茲法則本身有一系列直接推論。首先,如果 x1, x2, … ,xn ∈ A,那麼由數學歸納法得出
特別地,如果 A 可交換且 x1=x2=…=xn,那麼此公式簡化成熟悉的冪法則 D(xn) = nxn-1D(x)。如果 A 是有單位的,則 D(1) = 0 因為 D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1)。從而,因 D 是 k-線性的,推出對所有 x∈k 有 D(x)=0。如果 k ⊂ K 是一個子環,A 是一個 K-代數,則有包含關係
因為任何 K-導子當然是一個 k-導子。
從 A 到 M 的 k-導子的集合,Derk(A,M) 是 k-上的一個模。而且,k-模 Derk(A) 組成了一個李代數其李括號定義為交換子:
容易驗證兩個導子的李括號仍然是一個導子。
分次導子
[編輯]如果我們有一個分次代數 A,D 是 A 上一個階數 d = |D| 的齊次線性映射,則 D 是一個齊次導子如果
作用在 A 的齊次元素上。一個分次導子是具有相同 ε 的一些齊次導子的和。
如果交換因子 ε = 1,定義變為通常情形;如果 ε = -1,那麼對奇數 |D| 有,它們稱為反導子。
超代數(即:Z2-分次代數)的分次導子經常稱為超導子。
另見
[編輯]參考文獻
[編輯]- Bourbaki, Nicolas, Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, 1989, ISBN 3-540-64243-9.
- Eisenbud, David, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry 3rd., Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0387942698.
- Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra, Mathematics lecture note series, W. A. Benjamin, 1970, ISBN 978-0805370256.
- Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W., Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993 [2008-11-13], (原始內容存檔於2021-02-14).