微分代數(英語:Differential algebra)是代數學的一個分支,在代數中裝備一個導子就可以得到微分代數。此外,在數學中,微分環、微分域和微分代數是環、域、代數裝備一個導子,一個滿足萊布尼茲乘積法則的一元函數。微分域的一個自然例子是複數域上的單變元有理函數 C(t),其導子是關於 t 的微分。
微分環[編輯]
一個微分環 R 是裝備一個或多個導子的環
![{\displaystyle \partial :R\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885c27e110498a1863ed3e576631dfbb0c832d79)
使得每個導子滿足萊布尼茲乘積法則:
![{\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f78be53cedbce6c5c77d68db7387955e557fb44)
對任何
。注意環可能不交換,從而稍微標準的交換環情形的乘積法則 d(xy) = xdy + ydx 形式可能不成立。如果
是環上的乘法,乘積法則是恆等式
![{\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial ).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c8698fa46339273e47cd5f981ed12d64e42459f)
這裡
表示函數將二元組
映到二元組
。
微分域[編輯]
一個微分域是帶有一個導子的域 K。微分域 DF 的理論,由通常域公理與另外關於導子的兩個公理。和上面一樣,導子在域的元素上必須服從乘積法則,或萊布尼茲法則,這是導子稱為導子的原因。即對域中任何兩個元素 u 與 v 有
![{\displaystyle \partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d6bc6cf77d35154de6b820fa38fa534121b155)
由於域上的乘法可交換。導子也必須對域加法有分配律
![{\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v\ .\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cece102ac2424145a5eaef6bbed4907e3e9596)
如果 K 是一個微分域則常數域
。
微分代數[編輯]
域 K 上一個微分代數是一個 K-代數 A,其中的導子與域可交換。即對所有
與
有
![{\displaystyle \partial (kx)=k\partial x.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1398ac8045ee959c8094cabafbbe51ea5ff1239)
在不用指標記法中,如果
是定義了環上數量乘法的環同態,則有
![{\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial ).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1ed9c82ed70ffb14aa1c0b1048ab36f901b204)
同上導子對代數乘法必須服從萊布尼茲法則,以及對加法線性。從而,對所有
與
有
![{\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370c79774aac038985f11f36c8740e24876ae658)
以及
![{\displaystyle \partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1b5e437db0636a927ab8b54ab5fadaea0374cc)
李代數上的導子[編輯]
李代數
上一個導子是一個線性
滿足萊布尼茲法則:
![{\displaystyle D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054ea9f68262a9d833db9e0275e5fc95d2b8fbf0)
對任何
是
上一個導子,這由雅可比恆等式可得。任何這樣的導子稱為內導子。
如果
有單位,則 ∂(1) = 0 這是因為 ∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1)。例如,在特徵零的微分域中,有理數總是常數域的子域。
任何域可以簡單地理解為一個常數微分域。
域 Q(t) 具有惟一的結構成為一個微分域,由令 ∂(t) = 1 確定:域公理與導子的公理奇異保證導子是關於 t 的導數。例如,由乘法與萊布尼茲法則的交換性有 ∂(u2) = u ∂(u) + ∂(u)u= 2u∂(u)。
微分域 Q(t) 對微分方程
![{\displaystyle \partial (u)=u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44727db8463240c2c140bbba678535f5e9bf8d52)
沒有解。但擴充成包括函數 et 的更大的微分域,則這個方程有解。對任何微分方程系統有解的微分域稱為微分閉域。這樣的域存在,儘管它們不是作為代數或幾何對象自然出現的。任何微分域(有界基數)嵌入一個大微分閉域。微分域是微分伽羅瓦理論中的研究對象。
自然出現的導子例子是偏導數、李導數、Pincherle導數與關於這個代數中一個元素的交換子。所有這些例子是密切聯繫的,導子的概念將它們統一起來。
偽微分算子環[編輯]
微分環和微分域經常通過研究它們上面的偽微分算子來研究。
這是環
![{\displaystyle R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dcce77196a6e738f473a0d167b2bff3f4274005)
這個環上的乘法定義為
![{\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af38a241f97f4f02fff8e2397b4b3616a3a434a)
這裡
是二項式係數。注意到恆等式
![{\displaystyle \xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f36e48080ace6fc3f261d33eae1b49d190c2069)
這裡利用了恆等式
![{\displaystyle {-1 \choose n}=(-1)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7dca16ba17e6ac65dffa2c135ec19423ac3c397)
與
![{\displaystyle r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482caed37187b9cfd3a1db1f013550432ec609d7)
參考文獻[編輯]
- Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
- I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
- E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
- D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
- A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994
外部連結[編輯]