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有向集合

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數學中,有向集合(也叫有向預序過濾集合),是一個具有預序關係自反傳遞二元關係 ≤)的非空集合 A,而且每一對元素都會有個上界[1],亦即對於 A 中任意兩個元素 ab,存在著 A 中的一個元素 c(不必然不同於 a,b),使得 acbc(有向性)。

有向集合是非空全序集合的廣義化,亦即所有的全序集合都會是有向集合(偏序集合則不一定是有向的,因極大元原故)。在拓撲學裡,有向集合被用來定義,一種廣義化序列且統合用於數學分析中各式極限的概念。有向集合亦在抽象代數及(更一般的)範疇論中被用來產生有向極限這類的概念。

應用

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有向集合是非空全序集合的一般化。在拓撲中它們用來定義一般化序列,並聯合在數學分析中用到的各種極限的概念。

例子

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有向集合的例子有:

  • 帶有普通次序 ≤ 的自然數的集合 N 是一個有向集合(也是全序集合)。
  • 如果 x0實數,我們可以把 R - {x0} 集合變成有向集合,通過寫 ab 若且唯若 |a - x0| ≥ |b - x0|。我們說實數已經被導向了 x0。這不是偏序。
  • 如果 T 是一個拓撲空間x0T 中的一個點,我們可以把 x0 的所有鄰域的集合變成有向集合,通過寫 UV 若且唯若 U 包含 V
    • 對於所有 U: UU;因為 U 包含自身。
    • 對於所有 U,V,W:如果 UVVW,則 UW;因為如果 U 包含 VV 包含 WU 包含 W
    • 對於所有 U, V:存在著集合 U V 使得 UU V 並且 VU V;因為 UV 二者都包含 U V
  • 偏序集合 P 中,所有形如 {a| aP, ax} 的子集都是有向的,這裡 xP 的一個固定的元素。

對比於半格

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有向集合是比(並)半格更弱的(更一般的)概念:所有並半格都是有向集合,兩個元素的就是想要的 c

但是有向集合不要求極小性:可以有很多其他這樣的 c

有向子集

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有向集合不需要是反對稱的,並且一般不是偏序的。但是這個術語也經常用在偏序集合的上下文中。在這種情況下,偏序集合(P,≤)的子集 A 叫做有向子集若且唯若

  • A 不是空集
  • 對於 A 中任何兩個 ab,存在 A 中的一個 c 有著 acbc(有向性),

這裡 A 的元素的次序繼承自 P。為此,自反性和傳遞性不需要明確的要求。

有向子集最常用於域理論,這裡研究要求有最小上界的那些集合。所以,有向子集提供在偏序情況下一般化的(收斂)序列。

參見

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參考資料

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  1. ^ Kelley, p. 65.