環索線(strophoid)是幾何學中的一種曲線,由給定曲線C、點A(固定點)及點O(極點),依以下方式產生:令L是通過O,和曲線C的交點為K的變動直線。令P1和P2是直線L上的兩點,這兩點和K的距離和A到K的距離相同(因此A、P1、P2在圓心為O為圓上)。P1、P2的軌跡即為曲線C的環索線,相對於極點O及固定點A。
其中AP1和AP2會呈直角。
若C是直線,A在C上,而O不在C上,此曲線稱為斜環索線(oblique strophoid)。若OA和C垂直,此曲線則稱為正環索線(right strophoid),正環索線也稱為logocyclic curve或葉狀線(foliate)。
令曲線C的極坐標方程為
,其中原點為O,令A的直角坐標為(a, b),若
是曲線上的一點,K到A的距離為
.
在OK線上的點,其極座標角度為
,線上和點K距離為d的點,和原點的距離為
。因此,環索線的方程如下
![{\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64e17032b5d0d95902ecaf9d2d69285f2d779de)
若C是極點為O和A的麥克勞林分角線時,可以用以下的極座標公式。
令O為原點,A為點(a, 0),令K為曲線上一點,線OK和X軸的夾角為
,而
是線AK和和X軸的夾角。假設
可以表示為
的函數,假設
。令
是K的角度,則
。可以用正弦定律,將r用l來表示。因為
。
令P1和P2是OK線上和K點的距離等於AK的點,調整編號使
,且
。
是頂角為
的等腰三角形,剩下的兩角
和
角度為
。AP1線和x軸角度為
。
同理可得AP2和x軸的角度為
.
環索線的極座標式可以表示以下有l1及l2的式子:
![{\displaystyle r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45593137330f32c0d6a79c1da318f317b10bee53)
![{\displaystyle r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efd3d8a90cfa9beaf15126ccc85670ec27f483f)
若l是
,曲線C是極點為O和A的麥克勞林分角線,此時,l1和l2會有相同的型式,因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線,或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置,也會有較簡單的極座標方程。
令C是通過A點的直線。依照上式的表示法,
,其中
為常數,則
且
。相對原點O點環索線的極座標(斜環索線)方程為
![{\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ecab7c96b6417d25ae672377ce98f884dafd9a8)
以及
.
可以確定上式二式描述的是同一條直線。
將原點移到A點,用−a代替a,可得
,
旋轉角度
後可得
.
在直角坐標系,調整常數的參數,可得
.
是三次曲線,在極座標下是有理函數,其叉點在(0, 0),漸近線為直線y=b。
正環索線
將
代入下式
![{\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cd80aa6b03b5a8bbcabcf76d8e68f00c83e2e4)
可得
.
此即為正環索線,對應直線C為y軸,A點為原點,O點為點(a,0)的情形。
笛卡爾坐標系方程為
.
此曲線為笛卡兒葉形線[1],直線x = −a是二個分支的漸近線。此曲線還有二條漸近線,分別是複數平面上的
。
令圓C是通過O和A的圓,其中O為原點,A的座標為(a, 0)。依以上的表示法,
,其中
是常數。則
以及
,所得相對於圓O環索線(oblique strophoid)的極座標方程為
![{\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe95828554b1451875bd93aaa05be2962e8961d9)
及
.
這是二個通過O和A,在C點形成角度
的圓。
- J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves
. Dover Publications. 1972: 51–53,95,100–104,175. ISBN 0-486-60288-5.
- E. H. Lockwood. Strophoids. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press. 1961: 134–137. ISBN 0-521-05585-7.
- R. C. Yates. Strophoids. A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. 1952: 217–220.
- 埃里克·韋斯坦因. Strophoid. MathWorld.
- 埃里克·韋斯坦因. Right Strophoid. MathWorld.
- Sokolov, D.D., Strophoid, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Right Strophoid, MacTutor數學史檔案 (英語)
維基共享資源上的相關多媒體資源:環索線