环索线(strophoid)是几何学中的一種曲線,由給定曲線C、點A(固定點)及點O(極點),依以下方式產生:令L是通過O,和曲線C的交點為K的變動直線。令P1和P2是直線L上的兩點,這兩點和K的距離和A到K的距離相同(因此A、P1、P2在圓心為O為圓上)。P1、P2的轨迹即為曲線C的环索线,相對於極點O及固定點A。
其中AP1和AP2會呈直角。
若C是直線,A在C上,而O不在C上,此曲線稱為斜環索線(oblique strophoid)。若OA和C垂直,此曲線則稱為正環索線(right strophoid),正環索線也稱為logocyclic curve或葉狀線(foliate)。
令曲線C的極坐標方程為,其中原點為O,令A的直角坐標為(a, b),若是曲線上的一點,K到A的距離為
- .
在OK線上的點,其極座標角度為,線上和點K距離為d的點,和原點的距離為。因此,環索線的方程如下
若C是極點為O和A的麥克勞林分角線時,可以用以下的極座標公式。
令O為原點,A為點(a, 0),令K為曲線上一點,線OK和X軸的夾角為,而 是線AK和和X軸的夾角。假設可以表示為的函數,假設。令是K的角度,則。可以用正弦定律,將r用l來表示。因為
- 。
令P1和P2是OK線上和K點的距離等於AK的點,調整編號使,且。是頂角為的等腰三角形,剩下的兩角和角度為。AP1線和x軸角度為
- 。
同理可得AP2和x軸的角度為
- .
環索線的極座標式可以表示以下有l1及l2的式子:
若l是,曲線C是極點為O和A的麥克勞林分角線,此時,l1和l2會有相同的型式,因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線,或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置,也會有較簡單的極座標方程。
令C是通過A點的直線。依照上式的表示法,,其中為常數,則且。相對原點O點環索線的極座標(斜環索線)方程為
以及
- .
可以確定上式二式描述的是同一條直線。
將原點移到A點,用−a代替a,可得
- ,
旋轉角度後可得
- .
在直角坐標系,調整常數的參數,可得
- .
是三次曲線,在極座標下是有理函數,其叉點在(0, 0),漸近線為直線y=b。
將代入下式
可得
- .
此即為正環索線,對應直線C為y軸,A點為原點,O點為點(a,0)的情形。
笛卡尔坐标系方程為
- .
此曲線為笛卡儿叶形线[1],直線x = −a是二個分支的渐近线。此曲線還有二條漸近線,分別是複數平面上的
- 。
令圓C是通過O和A的圓,其中O為原點,A的座標為(a, 0)。依以上的表示法,,其中是常數。則以及,所得相對於圓O環索線(oblique strophoid)的極座標方程為
及
- .
這是二個通過O和A,在C點形成角度的圓。
- J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 51–53,95,100–104,175. ISBN 0-486-60288-5.
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- 埃里克·韦斯坦因. Strophoid. MathWorld.
- 埃里克·韦斯坦因. Right Strophoid. MathWorld.
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- 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Right Strophoid, MacTutor数学史档案 (英语)
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