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絕對賦值

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絕對賦值Hensel引進p進數後發展出的一個概念,常用於單變量代數函數論或者類域論方面的研究。

確切的說,絕對賦值是一個函數,是整環的元素的「大小」的度量。更確切地說,對整環D,一個絕對賦值| x |是從D到實數R,且滿足下列條件的任何映射:

  1. |x| ≥ 0,
  2. |x| = 0 若且唯若 x = 0,
  3. |xy| = |x||y|,
  4. |x + y| ≤ |x| + |y|.

從第二條和第三條可以看出,| 1 |=1, | -1| = 1。此外,對於任意正整數 n,

| 1+1+...(n次) | = | −1−1...(n次) | ≤ n.

注意有些英文書絕對賦值叫賦值(valuations)、範數(norm)、量值(magnitude)。

絕對賦值的類型

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如果|x+ y|滿足更強的屬性 |x+ y|≤MAX(|x|,|y|),那麽|x|被稱為超度量或非阿基米德絕對賦值,否則就叫阿基米德絕對賦值。每一個整環有至少有一個絕對賦值,稱為平凡賦值。這種絕對賦值是:當x= 0時|x|= 0,x≠ 0時|x|= 1,有限域只能有平凡賦值| x |1 < 1 若且唯若 | x |2 < 1.,那麼這兩個絕對賦值相等.如果兩個非平凡絕對賦值是相等的,那麼一些指數e,有 | x |1e = | x |2。(請注意,不能提高絕對賦值的次冪來獲得另一個不同的絕對賦值,例如對實數,一個絕對賦值平方後產生另一個不同值,這種情況就不是一個絕對賦值函數。)絕對賦值可導致到等價類來理解,換言之絕對賦值的等價類,被稱為一個素點奧斯特洛夫斯基定理指出,有理數Q中,p-adic數是非平凡絕對賦值,每一個素數p的絕對賦值是有理數Q的素點

q = pn(a/b), 其中a,b是不被p整除的整數。

素點的定義就來自上面普通絕對賦值和p的絕對賦值。

幾何概念聯繫

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是在複域的兩個變量的多項式環有理函數,並考慮收斂

參數化後解析零點集為,則作為多項式環形式冪級數環

映射 ,則可能得在中的多項式 限制

逆映射也可能得到延拓(擴張):

形式冪級數環不是多項式環產生的,則容易證明上面逆映射延拓是賦值,在幾何上叫曲線一維解析代數簇)的交點。 如:

參考

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  • Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II 2nd, New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001 . A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
  • Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8 

外部連結

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