在數學的群論中,自由積(英語:free product,法語:produit libre)是從兩個以上的群構造出一個群的一種操作。兩個群G和H的自由積,是一個新的群G ∗ H。這個群包含G和H為子群,由G和H的元素生成,並且是有以上性質的群之中「最一般」的。自由積一定是無限群,除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群(由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群)相似。
自由積是群範疇中的餘積。
建構方式[編輯]
若G和H是群,以G和H形成的字是以下形式的乘積:
![{\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11d32b285372aa62f89e8b0988da8266bc5795a)
其中si是G或H的元。這種字可以用以下的操作簡化:
- 除去其中的(G或H的)單位元,
- 將其中的g1g2一對元素以其在G中的積代替,將其中的h1h2一對元素以其在H中的積代替。
每個簡約字都是G的元素和H的元素交替的積,例如:
![{\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4481c70b5cbb81eb165cd3b219dd97d8efc22c85)
自由積G ∗ H的元素是以G和H形成的簡約字,其上的運算是將兩字接合後簡化。
例如若G是無窮循環群<x>,H是無窮循環群<y>,則G ∗ H的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時G ∗ H同構於以x和y生成的自由群。
設
是群的一個族。用
形成的字,也可以用上述操作簡化為簡約字。仿上可定義出
的自由積
。
設
![{\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0703e854d43f5deaa0b38b451962d792da5e91)
是G的一個展示(SG是生成元的集合,RG是關係元的集合),又設
![{\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7879822d44238fec3fc60c9481efa78707ea341)
是H的一個展示。那麼
![{\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54a7fb2db036fdb8c9e00210c3f585e3dc07018)
即是G ∗ H是G的生成元和H的生成元所生成,而其關係是G的關係元和H的關係元所組成。(兩者都是不交併。)
- 將
自然地映射到
的群同態是內射,故此這個群同態將
嵌入到
中為子群。
泛性質[編輯]
自由積亦可由以下泛性質定義:設G是群,
是由群組成的一個族,有一族群同態
。那麼存在唯一的群同態
,使得對所有
都有
![{\displaystyle \phi _{i_{0}}=\phi \circ \iota _{i_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e0bfd8daca21b99a7a702b5f9e7a958ff6d933)
其中
是把
嵌入到
中的群同態。
共合積[編輯]
共合積(英語:amalgamated (free) product或free product with amalgamation,法語:produit (libre) amalgamé)是自由積的推廣。設G和H是群,又設F是另一個群,並有群同態
及 ![{\displaystyle \psi \colon F\to H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433898ea67c4c8378ada58b7c4f2b4e37c0fce7f)
對F中所有元素f,在自由積G ∗ H中加入關係
![{\displaystyle \phi (f)\psi ^{-1}(f)=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fef49f9dc685b04c7b2e6bd6eccf33a33587dd)
便得出其共合積。換言之,在G ∗ H中取最小的正規子群N,使得上式左方的元素都包含在內,則商群
![{\displaystyle (G*H)/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d752829c6739493e3faf553046839f4eae74526)
就是共合積
。
共合積可視為在群範疇中圖表
的推出。
塞弗特-范坎彭定理指,兩個路徑連通的拓撲空間沿著一個路徑連通子空間接合的併,其基本群是這兩個拓撲空間的基本群的共合積。
共合積及與之相近的HNN擴張,是討論在樹上作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。