計盒維數

在分形幾何中, 計盒維數也稱為盒維數、閔考斯基維數，是一種測量距離空間(X, d)（特別是豪斯多夫空間）比如歐氏空間 Rⁿ 中分形維數的計算方法。

要計算分形 S 的維數，你可以想像一下把這個分形放在一個均勻分割的網格上，數一數最小需要幾個格子來覆蓋這個分形。通過對網格的逐步精化，查看所需覆蓋數目的變化，從而計算出計盒維數。

假設當格子的邊長是 ε 時，總共把空間分成 N 個格子，那麼計盒維數就是：

$\dim _{\rm {box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}$

當極限不收斂時，我們必須指出頂盒維數或底盒維數，或者說，計盒維數僅在和頂盒維數與底盒維數相等時才是有定義的。頂盒維數也稱為能量維數、科莫格洛夫維數、科莫格洛夫容積，或者閔考斯基上界維數，類似的可定義閔考斯基下界維數。

計盒維數以及頂盒維數、底盒維數都和更常用的豪斯多夫維數有關，而且它們通常是一致的，只有在極特別的情況下才有區別。更詳細的區別參考下文。另一個分形維的度量是關聯維數。

定義的變化

盒子可以是方的，也可以是圓的，我們可以用半徑為 ε 的球來覆蓋空間，並逐步減小球的半徑。使用球的好處是，它比方形的數學形式更簡單，並且更容易應用到更一般的距離空間，而方形僅在歐幾里德空間中才有直觀的定義。

而使用方形的格子也有它的好處，在很多情況下方格的 N (ε) 計算更簡單，並且盒子的數目和它的覆蓋數是相等的，而同樣的覆蓋數，需要更多個球。

與豪斯多夫維數的關係

計盒維數是定義分形維的若干種方法之一。對於很多定義良好的分形來說，這些不同分數維的值是相等的。特別是當分型滿足開集條件時，這些維數一致。比如說，對康托集來說，它的豪斯多夫維數、底盒維數、頂盒維數都等於 log(2)/log(3)。然而它們的定義是不同的。

計盒維數和豪斯多夫維數存在如下不等式：

$\dim _{\operatorname {Haus} }\leq \dim _{\operatorname {lowerbox} }\leq \dim _{\operatorname {upperbox} }$

一般的這兩個不等式可能是嚴格不等的。當分型在不同尺寸有著不同行為時，頂盒維數可能大於底盒維數。例如，驗證一下區間 [0,1] 中滿足以下條件的數集

對於任何 n， 所有在第 2²ⁿ 位和第 2²ⁿ⁺¹ − 1 位之間（含兩端）的數字均為 0

在「奇位置區間」的數位沒有限制，例如，在第 2²ⁿ⁺¹ 位和 2²ⁿ⁺² − 1 位間的數字沒有限制，可以取任何值。該分型的頂盒維度為 2/3 而底盒維度為 1/3。這點很容易通過計算N(ε) （$\varepsilon =10^{-2^{n}}$）並注意到這些值在 n 分別取奇數和偶數時表現不同來證實。

更多例子：有理數集 $\mathbb {Q}$ ，是一可數集故而其 $\dim _{\operatorname {Haus} }=0$ ，但是其 $\dim _{\operatorname {box} }=1$ 因為其閉包 $\mathbb {R}$ 的維度是 1 。實際上，

$\dim _{\operatorname {box} }\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.$

這些例子顯示了增添可數集能改變計盒維度，揭示了這種維度的一種不穩定性。

參見

• 不確定性係數
• 關聯維數
• 豪斯多夫維數
• 空隙度
• 填充維數
• 外爾-貝里猜想

參考

• 埃里克·韋斯坦因. Minkowski-Bouligand Dimension. MathWorld.