User:PexEric/范畴论

範疇論（英語：Category theory）是抽象处理数学结构及其关系的一般理论，由塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麥克蘭恩在20世纪中叶进行代数拓扑的基础研究时提出。數學和计算机科学中許多重要領域的问题可以通过范畴论形式化，这使一些難理解、難捉摸的數學結論更容易敘述證明。例如在商空间、直积、完备空间和对偶问题中，许多新数学对象构造于以前的对象，其结构往往会表现出相似性，这时可以用范畴方便地表示和统一。一個可追溯至1940年代的述語「一般化的抽象廢話」，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。

范畴通过两个概念进行形式化，即其中的「物件」和「態射」。态射将域（源）和陪域（目标）这两个对象通过一个表示映射的箭头联系起来。

集合範疇最容易理解的一個例子，其物件為集合，態射為集合間的函數。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函數；一個數學概念若可以找到一種方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。

範疇最簡單的例子之一為广群，其態射皆為可逆的。群胚的概念在拓撲學中很重要。範疇現在在大部分的數學分支中都有出現，在理論電腦科學的某些領域中用于對應資料型別，而在數學物理中被用來描述向量空間。