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曼德博集合

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如果c点属于曼德博集合M则为黑色,反之为白色

曼德博集合(Mandelbrot set,或译為曼德布洛特复数集合)是一种在复平面上组成分形的点的集合,以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亚集合有些相似的地方,例如使用相同的复二次多项式來进行迭代

定义

曼德博集合可以用复二次多项式来定义:

其中 是一个复数常数。

开始对 进行迭代

每次迭代的值依序如以下序列所示:

不同的参数 可能使序列绝对值逐漸發散到无限大,也可能收斂在有限的區域内。

曼德博集合 就是使序列不延伸至无限大的所有复数 集合

相關的定理

定理一

,則

證明:

假設 為真

第一步:

因為

由以上可得知

第二步:

假設 成立

由上式可得知

由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...), 皆比 小。

當n趨近無限大時 依然沒有發散,所以 ,故得證。


定理二

,則

證明:

假設

第一步:

,左右同乘 再減去 可得到下式

由以上可得知

第二步:

假設 成立,則

因為

,左右同乘 再減去 可得到下式

由以上可得知

由數學歸納法可得知 ,可看出隨著迭代次數增加 逐漸遞增並發散。

所以若 ,則 ,故得證。


定理三

,則

根據定理二以同樣的方法可證明出下式

由上式可得知對於所有的n(n=1,2,...),皆比2大,且隨著迭代次數增加逐漸遞增並發散。

所以若 ,則 ,故得證。

利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 是否會發散。

计算的方法

曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件,例如Ultra fractal,内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码,表达了曼德博集合的计算思路。

For Each z0 in Complex
 repeats = 0
 z=z0
 Do
  z=z^2+z0
  repeate = repeats+1
 Loop until abs(z)>Bailout or repeats >= MaxRepeats
 If repeats >= MaxRepeats Then
  Draw z0,Black
 Else
  Draw z0,f(z,z0,Repeats)  'f返回颜色
 End If
Next

f函数的一些例子

  1. 直接利用循环终止时的Repeats
  2. 综合利用z和Repeats
  3. Orbit Traps


也可以用Mathematica制作 DensityPlot[Block[{z, t = 0}, z = x + y*I; While[(Abs[z] < 2.0) && (t < 100), ++t; z = z^2 + x + y*I]; Return[t]],{x, -2, 0.8}, {y, -1.5, 1.5}, PlotPoints -> 500, Mesh -> False];

各種圖示

时长:43秒。
動畫
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