三維點群

幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群$O(3)$的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。$O(3)$本身則是全體等距同構的歐氏群$E(3)$的子群。

立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。

立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群（或真對稱群）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群$SO(3)$之交。立體的旋轉群等於全體對稱群，當且僅當立體具手性。

三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱，及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下，也稱分子對稱群。

有限考克斯特群是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。$n$階考克斯特群是由$n$個鏡射生成，可以考克斯特－丹金圖表示。考克斯特符號則改為用方括號和數字描述，並設有其他標記，用以表示旋轉群或其他子群。

群結構

$SO(3)$是直接歐氏群$E^{+}(3)$的子群，其元素皆是直接等距同構，即保持定向的等距變換。$SO(3)$僅含保持原點不變的直接等距同構。

$O(3)$則是$SO(3)$與點反演生成的群$\{I,-I\}$的直積：（此處點反演以其矩陣$-I$表示，即單位矩陣$I$乘上$-1$。）

$O(3)=SO(3)\times \{I,-I\}.$

所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應，此外，$O(3)$中僅由直接等距變換組成的子群$H$（必包含在$SO(3)$中，亦與$O(3)$中含有點反演的子群$K$一一對應。對應關係如下：

$K=H\times \{I,-I\},$

$H=K\cap SO(3).$

例如，若$H$為$C_{2}$，則$K$為$C_{\mathrm {2h} }$；若$H$為$C_{3}$，則$K$為$S_{6}$。（定義載於下文。）

若直接等距同構群$H$有指數為$2$的子群$L$，則除以上含點反演的子群外，還有另一個對應的子群

$M=L\cup \left((H\setminus L)\times \{-I\}\right),$

含有間接等距變換，但不含點反演。式中$(A,I)$與$A$視為等同。舉例$H$為$C_{4}$，而$M$為$S_{4}$。

換言之，$M$是將$H\setminus L$中的變換，乘上$-I$得到。此群$M$作為抽象群與$H$同構。反之，任意對稱群，若有間接等距變換，但無點反演，則可以將所有間接變換反演，而變成旋轉群。等距群的分類（見下文）中，可以用此性質化簡問題。

二維情況下，$k$重旋轉的循環群$C_{k}$皆是$O(2)$和$SO(2)$的正規子群。在三維中，固定旋轉軸，則相應有繞該軸的$k$重循環群$C_{k}$，是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外，由於指數為$2$的子群必正規，$C_{n}$在$C_{n\mathrm {v} }$中正規，也在$C_{n\mathrm {h} }$中正規。此處$C_{n\mathrm {v} }$是向$C_{n}$添加過旋轉軸的反射面生成，而$C_{n\mathrm {h} }$則是向$C_{n}$添加與軸垂直的反射面生成。

固定原點的三維等距變換

$\mathrm {R} ^{3}$的等距變換中，固定原點的變換，組成正交群$O(3,\mathbb {R} )$，簡記為$O(3)$。其元素分類如下：

• 子群$SO(3)$中：
  • 單位（恆等變換）；
  • 繞過原點某軸的旋轉，且角度不為$180^{\circ }$；
  • 繞過原點某軸的旋轉，且角度為$180^{\circ }$；
• 及以上變換但額外乘上點反演（將向量$x$映去$-x$），即：
  • 點反演；
  • 繞過原點的某軸，作角度不為$180^{\circ }$的旋轉，後再作一次鏡射，鏡射面過原點，且與旋轉軸垂直；
  • 關於過原點某平面的鏡射。

後三種元素又稱瑕旋轉。（視乎定義，末一種未必算。）

連同平移變換的簡介，見歐幾里得群。

共軛

比較兩件立體的對稱類時，原點可以分別選取，即兩件立體的中心不必相同。更甚者，兩件立體具有相同對稱類，意思是其對稱群$H_{1},H_{2}$在$O(3)$中為共軛子群，即存在$g\in O(3)$，使$H_{1}=g^{-1}H_{2}g$。

舉例：

• 兩件立體各僅有鏡射對稱，即使並非關於同一鏡面，仍屬同樣的對稱類；
• 同樣，若各僅有三重旋轉對稱，即使軸向不同，仍屬同樣的對稱類。

若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面，或兩者皆有，則兩個對稱群同屬一類，當且僅當有另一個旋轉$g$，將前一個對稱群的整個結構，變換成後一個對稱群。（此種旋轉會多於一個，但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時，此種旋轉方會有無窮多個。）按定義，上文的$g$不必為旋轉，也可以為鏡射，然而，由於對稱群的結構不具手性，祇需取$g$為旋轉。（但空間群則不然，有$11$對空間群具有手性，因為有螺旋變換。）

無窮等距變換群

有許多無窮等距變換群，如繞任意軸轉任意無理角度（即圈數或度數為無理數，或弧度數為$\pi$的無理數倍）的旋轉，所生成的無窮循環群；若加入繞同一軸的其他旋轉，還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉，則生成非交換群。一般而言，此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉，方能得到有限群，否則一般皆是無窮群。

作為拓撲群$O(3)$的子群，上述無窮子群皆非閉子群。以下討論$O(3)$的拓撲閉子群：

無標記特定點的球面，對稱群為$O(3)$。

• 整個$O(3)$是球對稱群、
  • 相應的旋轉群是$SO(3)$。

其他無窮等距變換群有：

• 過原點的某軸，繞該軸的所有旋轉組成的群，
  • 添加或不添加過軸的各鏡面反射，
  • 另添加或不添加過原點與軸垂射的鏡面反射。

添加過軸的各鏡面反射的群，不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射，稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱，則亦必關於過軸的鏡面對稱。

There are seven continuous groups which are all limits of the finite isometry groups. These so called limiting point groups or Curie limiting groups are named after Pierre Curie who was the first to investigate them. The seven infinite series of axial groups lead to five limiting groups (two of them are duplicates), and the seven remaining point groups produce two more continuous groups. In international notation, the list is ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞, and ∞∞m.

Finite isometry groups

Symmetries in 3D that leave the origin fixed are fully characterized by symmetries on a sphere centered at the origin. For finite 3D point groups, see also spherical symmetry groups.

Up to conjugacy the set of finite 3D point groups consists of:

• 7 infinite series with at most one more-than-2-fold rotation axis; they are the finite symmetry groups on an infinite cylinder, or equivalently, those on a finite cylinder. They are sometimes called the axial or prismatic point groups.
• 7 point groups with multiple 3-or-more-fold rotation axes; they can also be characterized as point groups with multiple 3-fold rotation axes, because all 7 include these axes; with regard to 3-or-more-fold rotation axes the possible combinations are:
  • 4 3-fold axes
  • 4 3-fold axes and 3 4-fold axes
  • 10 3-fold axes and 6 5-fold axes

According to the crystallographic restriction theorem, a limited number of point groups is compatible with discrete translational symmetry: 27 from the 7 infinite series, and 5 of the 7 others. Together, these make up the 32 so-called crystallographic point groups.