區間：修订间差异

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2023年8月28日 (一) 14:00的版本

區間（英語：interval）在數學上是指某個範圍的數的集合，或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合，一般以集合形式表示。

簡說

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間 $(10,20)$ 表示所有在 $10$ 和 $20$ 之間的實數，但不包括 $10$ 或 $20$ 。另一方面，閉區間 $[10,20]$ 表示所有在 $10$ 和 $20$ 之間的實數，以及 $10$ 和 $20$ 。^[1]

定义

实区间

在赋予通常序的实数集 $\mathbb {R}$ 里，以 $a,b\in \mathbb {R}$ 为端点的开区间和闭区间分别是：

(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}

[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}

类似地，以 $a,b$ 为端点的两个半开区间定义为：

(a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}

[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}

在一些上下文中，两个端点要求满足 $a<b$ 。这排除了 $a=b$ 从而区间或是单元素集合或是空集的情形，也排除了 $a>b$ 从而区间为空集的情形。

只有左端点 $a$ 的开区间和半开区间分别如下。

(a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},

[a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},

只有右端点 $b$ 的开区间和半开区间分别如下。

(-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},

(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},

整个实数线等于没有端点的区间：

(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}

偏序集或预序集中的区间

区间的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何预序集中有定义。对于预序集 $(X,\lesssim )$ 和两个元素 $a,b\in X,$ ，我们可以类似定义^[2]^{:11, Definition 11}

(a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}

[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}

(a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}

[a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}

(a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}

[a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}

(-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}

(-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}

(-\infty ,\infty )=X

其中 $x<y$ 意思是 $x\lesssim y\not \lesssim x$ 。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集

{\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}

-\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)

上具有两个端点的区间，使得它是 $X$ 的子集。当 $X=\mathbb {R}$ 时，可以取 ${\bar {\mathbb {R} }}$ 为扩展实数线。

序凸集和序凸分支

预序集 $(X,\lesssim )$ 的子集 $A\subseteq X$ 是序凸集，如果对于任意 $x,y\in A$ 以及任意 $x\lesssim z\lesssim y$ 有 $z\in A$ 。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在有理数的全序集 $(\mathbb {Q} ,\leq )$ 中，

\mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}

是序凸集，但它不是 $\mathbb {Q}$ 的区间，这是因为2的平方根在 $\mathbb {Q}$ 中是不存在的。

设 $(X,\lesssim )$ 是一个预序集，且 $Y\subseteq X$ 。包含在 $Y$ 中的 $X$ 的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做 $Y$ 的序凸分支。^[3]^{:Definition 5.1}由佐恩引理，包含在 $Y$ 中的 $X$ 的任意序凸集包含于 $Y$ 的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，全序集的子集的序凸分支构成分划。

區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

T\times S=\{x\mid {}

屬於

T

的某些

y

，及屬於

S

的某些

z

，使得

x=y\times z\}

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集 $[a,b]$ 及 $[c,d]$ ：

[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]

[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]

[a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]

{\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集 $X(Y+Z)$ 是 $XY+XZ$ 的子集。

另一種寫法

在法国及其他一些欧洲国家，用 $][$ 代替 $()$ 來表示开区间，例如：

\left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}

\left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}

\left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}

\left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}

國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法^[4]。

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將 $[1,2.3]$ 寫成 $[1;2,\!3]$ 。若只把小數點寫成逗號，就會變成 $[1,2,\!3]$ ，此時不易判斷究竟是 $1.2$ 與 $3$ 之間，還是 $1$ 與 $2.3$ 之間的閉區間。

參考

^ Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. （原始内容存档于2014-12-26）.
^ Vind, Karl. Independence, additivity, uncertainty. Studies in Economic Theory 14. Berlin: Springer. 2003. ISBN 978-3-540-41683-8. Zbl 1080.91001. doi:10.1007/978-3-540-24757-9 （英语）.
^ Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. Monotonically normal spaces. Transactions of the American Mathematical Society. 1973, 178: 481–493. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009. doi:10.2307/1996713 （英语）.
^ ISO 31-11:1992. ISO. [2021-05-18]. （原始内容存档于2021-05-18）（英语）.

[1] Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. （原始内容存档于2014-12-26）.

[Vind-2] Vind, Karl. Independence, additivity, uncertainty. Studies in Economic Theory 14. Berlin: Springer. 2003. ISBN 978-3-540-41683-8. Zbl 1080.91001. doi:10.1007/978-3-540-24757-9 （英语）.

[Heath-3] Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. Monotonically normal spaces. Transactions of the American Mathematical Society. 1973, 178: 481–493. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009. doi:10.2307/1996713 （英语）.

[4] ISO 31-11:1992. ISO. [2021-05-18]. （原始内容存档于2021-05-18）（英语）.

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@@ 第1行： / 第1行： @@
+{{NoteTA|G1=Math}}
 {{About|数学上的区间概念|铁路运输的区间概念|闭塞 (铁路)}}
 [[File:Interval0.png|thumb|400px|在圖中的數軸上，所有大于''x''和小于''x''+''a''的数组成了一个开区间。]]
-'''區間'''（{{lang-en|interval}}）在[[數學]]上是指某個範圍的數的集合，一般以[[集合 (數學)|集合]]形式表示。
+'''區間'''（{{lang-en|interval}}）在[[數學]]上是指某個範圍的數的集合，或者更一般地是指某个范围的[[预序集]]元素的集合，一般以[[集合 (數學)|集合]]形式表示。
 == 簡說 ==
 在[[初等代數]]，傳統上區間指一個[[集合 (数学)|集]]，包含在某兩個特定[[實數]]之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示'''排除'''，方括號表示'''包括'''。例如，開區間<math>(10, 20)</math>表示所有在<math>10</math>和<math>20</math>之間的實數，但不包括<math>10</math>或<math>20</math>。另一方面，閉區間<math>[10, 20]</math>表示所有在<math>10</math>和<math>20</math>之間的實數，以及<math>10</math>和<math>20</math>。<ref>{{cite web |title=Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Interval_and_segment |website=encyclopediaofmath.org |publisher=Springer & The European Mathematical Society |accessdate=2021-05-18 |archive-date=2014-12-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141226211146/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Interval_and_segment }}</ref>
-== 嚴格定義 ==
+== 定义 ==
+=== 实区间 ===
-區間的定義可以推廣到任何[[全序集]]<math>T</math>的[[子集]]<math>S</math>，使得若<math>x</math>和<math>y</math>均屬於<math>S</math>，且<math>x < z < y</math>，則<math>z</math>亦屬於<math>S</math>。
+在赋予通常序的实数集<math>\mathbb R</math>里，以<math>a,b\in\mathbb R</math>为端点的'''开区间'''和'''闭区间'''分别是：
+:<math>(a,b)=\{x\in\mathbb R\colon a<x<b\}</math>
+:<math>[a,b]=\{x\in\mathbb R\colon a\le x\le b\}</math>
+类似地，以<math>a,b</math>为端点的两个'''半开区间'''定义为：
+:<math>(a,b]=\{x\in\mathbb R\colon a<x\le b\}</math>
+:<math>[a,b)=\{x\in\mathbb R\colon a<x\le b\}</math>
+在一些上下文中，两个端点要求满足<math>a<b</math>。这排除了<math>a=b</math>从而区间或是[[单元素集合]]或是[[空集]]的情形，也排除了<math>a>b</math>从而区间为空集的情形。
+只有左端点<math>a</math>的'''开区间'''和'''半开区间'''分别如下。
-特別重要的情況是當<math>T = \mathbb{R}</math>。
+:<math>(a,\infty)=\{x\in\mathbb R\colon x>a\},</math>
+:<math>[a,\infty)=\{x\in\mathbb R\colon x\ge a\},</math>
+只有右端点<math>b</math>的'''开区间'''和'''半开区间'''分别如下。
-<math>\mathbb{R}</math>的區間有以下十一種（<math>a</math>和<math>b</math>為實數且<math>a < b</math>）：
+:<math>(-\infty,b)=\{x\in\mathbb R\colon x<b\},</math>
+:<math>(-\infty,b]=\{x\in\mathbb R\colon x\le b\},</math>
+整个实数线等于没有端点的区间：
-# <math>(a, b) = \{ x \mid a < x < b \}</math>
-# <math>[a, b] = \{ x \mid a \le x \le b \}</math>
+:<math>(-\infty,\infty)=\mathbb R</math>
-# <math>[a, b) = \{ x \mid a \le x < b \}</math>
-# <math>(a, b] = \{ x \mid a < x \le b \}</math>
-# <math>(a, \infty) = \{ x \mid x > a \}</math>
-# <math>[a, \infty) = \{ x \mid x \ge a \}</math>
-# <math>(-\infty, b) = \{ x \mid x < b \}</math>
-# <math>(-\infty, b] = \{ x \mid x \le b \}</math>
-# <math>(-\infty, \infty) = \mathbb{R}</math>自身，實數集
-# <math>[a, a] = \{a\}</math>，即[[單元素集合]]
-# <math>\varnothing</math>，即[[空集]]
+=== 偏序集或预序集中的区间 ===
-、5、7稱為'''開區間'''（因為它們是[[開集]]）；2、6、8、10稱為'''閉區間'''（因為它們是[[閉集]]）；3、4稱為'''半開區間'''、'''半閉區間'''或'''半開半閉區間'''；而9、11同時為'''開區間'''和'''閉區間'''，並非半開區間或半閉區間。
+区间的概念在任何[[偏序集]]或者更一般地，在任何[[预序集]]中有定义。对于[[预序集]]<math>(X,\lesssim)</math>和两个元素<math>a,b\in X,</math>，我们可以类似定义<ref name="Vind">{{cite book
+|last=Vind
+|first=Karl
+|title=Independence, additivity, uncertainty
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+|series=Studies in Economic Theory
+|volume=14
+|publisher=Springer
+|location=Berlin
+|date=2003
+|isbn=978-3-540-41683-8
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+|zbl=1080.91001
+}}</ref>{{rp|11, Definition 11}}
+:<math>(a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}</math>
+:<math>[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}</math>
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+:<math>(-\infty,b)=\{x\in X\colon x<b\}</math>
+:<math>(-\infty,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}</math>
+:<math>(-\infty,\infty)=X</math>
+其中<math>x<y</math>意思是<math>x\lesssim y\not\lesssim x</math>。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集
+:<math>\bar X=X\sqcup\{-\infty,\infty\}</math>
+:<math>-\infty<x<\infty\qquad(\forall x\in X)</math>
+上具有两个端点的区间，使得它是<math>X</math>的子集。当<math>X=\mathbb R</math>时，可以取<math>\bar\mathbb R</math>为[[扩展实数线]]。
+=== 序凸集和序凸分支 ===
-、2、3、4、10、11為'''有界區間'''；5、6、7、8、9為'''無界區間'''；10為單點。
+[[预序集]]<math>(X,\lesssim)</math>的子集<math>A\subseteq X</math>是'''序凸集'''，如果对于任意<math>x,y\in A</math>以及任意<math>x\lesssim z\lesssim y</math>有<math>z\in A</math>。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在[[有理数]]的[[全序集]]<math>(\mathbb Q,\le)</math>中，
+:<math>\mathbb Q=\{x\in\mathbb Q\colon x^2<2\}</math>
+是序凸集，但它不是<math>\mathbb Q</math>的区间，这是因为2的平方根在<math>\mathbb Q</math>中是不存在的。
+设<math>(X,\lesssim)</math>是一个[[预序集]]，且<math>Y\subseteq X</math>。包含在<math>Y</math>中的<math>X</math>的序凸集关于包含关系构成[[偏序集]]。这个偏序集的[[极大元]]叫做<math>Y</math>的'''序凸分支'''。<ref name="Heath">{{cite journal
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+}}</ref>{{rp|Definition 5.1}}由[[佐恩引理]]，包含在<math>Y</math>中的<math>X</math>的任意序凸集包含于<math>Y</math>的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在[[全序集]]中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，[[全序集]]的子集的序凸分支构成[[集合划分|分划]]。
 == 區間算術 ==