几乎必然

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概率论中,如果一个事件发生的概率为1,就说这个事件几乎必然发生(有时候简称a.s.)。这个概念与测度中的幾乎處處是类似的。

在许多的基础概率试验中,几乎必然必然是没有区别的,但是在一些与无穷相关的较为复杂的情况下,它们之间的区别是很重要的。例如,这个术语在无限时间、规律性特性或者无穷维度空间(比如函数空间)中往往需要加以讨论。基本的运用实例包括大数定律或者布朗运动的连续性。

几乎从不描述的是几乎必然的对立面,它是指一个事件发生的概率是零。

公式定义[编辑]

设(Ω, F, P)为一个概率空間。如果时间一个事件 (概率论) EF 中满足P(E) = 1,我们说事件 E 几乎必然发生。同样地, 我么说一个时间E几乎必然发生 如果 E 不发生的概率是0

测度理论的角度来看,它的一个等效定义是如果 E = Ω 幾乎處處,则 E' '几乎必然发生。

"几乎必然"对"必然"[编辑]

一个事件 几乎必然 发生和 必然 发生之间的区别于某个事件发生的 概率为1 和 它 总是发生 之间细微的差别是类似的。

如果一个事件 必然 发生,则没有其它结果可能出现。如果一个事件 几乎必然 发生,则理论上存在出现其它结果的可能性,不过出现其它结果的概率小于任何正数,因此它的概率只能是0。因此,不能够确定这些结果绝对不会出现,但是在大部分情况下可以认为它们不会出现。

扔飞镖[编辑]

例如,想象一下宇宙中只有一个正方形,在一个单位正方形内扔飞镖,并且飞镖能够精确覆盖一个点。因此在物理上飞镖没有落入其它位置的可能性。那么,「飞镖落入正方形」这个事件就是一个必然事件,不可能有其它可能性发生。

接着考虑「飞镖击中正方形对角线」这个事件。飞镖落入正方形中子区域的概率等于该子区域所占正方形面积的比例。但是,由于对角线的面积是0,因此飞镖击中对角线的概率是0.所以,飞镖几乎必然不会击中正方形对角线。然而对角线的点的集合非空并且在击中对角线上某个点的可能性不会比任何其它点的可能性小,因此理论上飞镖击中对角线是可能的。

对于正方形中的任意点也是如此,点 P 的面积为0,因而被飞镖击中的概率也是0.但是,飞镖可以击中正方形中的任意一点。因此如果这样的话,概率为0的事件不但是可能发生的,而且必然会发生。于是,我们不会说我们确定某个既定事件不会发生,而是说几乎确定

投掷硬币[编辑]

假设反复投掷一个假想的完全公平的硬币。一个硬币有正反两面,因此事件“硬币被抛到正面或者反面”是一个必然事件,因为不可能出现其它情况。

从某种意义上来说,全部都是正面 的无限序列是可能的(它不违反任何数学或者物理定律),另外它是非常重要的。事实上,在一个无限序列中反面不出现的概率是0.因此,虽然我们不能够说在无限次的投掷硬币过程中,反面至少出现一次,但是我们可以说反面 几乎必然 至少必然出现一次。

但是,如果我们在一个确定的时间后停止了投掷,假设是经过了100万次投掷,这时 全部都是正面序列 的概率不是0,而是 2−1,000,000, 因此 反面至少出现一次 的概率是 1 − 2−1,000,000 < 1, 这个事件不再是几乎必然的。

渐进几乎必然[编辑]

在渐进分析中,如果一个序列集合的概率收敛于1,它被称为具有渐进几乎必然性(asymptotically almost surely,简称a.a.s)。

参见[编辑]

外部链接[编辑]

  • Rogers, L. C. G.; Williams, David. Diffusions, Markov Processes, and Martingales 1. Cambridge University Press. 2000. 
  • Williams, David. Probability with Martingales. Cambridge University Press. 1991.