类数公式

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数论中,类数公式涉及了许多重要的不变量,是数域到其特殊的戴德金zeta函数赋值

类数公式的一般性陈述[编辑]

数域 K 有扩张[K:Q]=r=r1+2r2, r_1 K实素点个数,2r_2 K复素点个数. K戴德金zeta函数记为: \zeta_K(s) \, 则有下列不变量

绝对收敛,并对复平面\Re(s)>1,且s =1时,只有一个极点的亚纯函数,其留数为:

 \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}

这是最普遍的“类数公式”。在特殊情况下,例如当K是分圆域的扩张,也有简化的类数公式。

狄利克雷类数公式[编辑]

  • 以下参考达文波特。[1]狄利克雷在1839年证明了第一类数公式,但它是关于二次型的类数而不是理想类的证明。设d是一个基本单位判别式,写判别ð二次型等价类数h为(D)。\chi = \left(\!\frac{d}{m}\!\right)是Kronecker符号,则χ是Dirichlet特征。记χ的LDirichlet L序列为L(s, χ),

对于d>0,让t> 0,u>0 则满足u是最小的解Pell方程t^2 - d u^2 = 4,如记:\epsilon = \frac{1}{2}(t + u \sqrt{d}).(ε也是实2次域的基本单位基本单位的平方), 对于d<0,记w为判别式d的二次型的自同构个数,则:

w =
\begin{cases}
2, & d < -4; \\
4, & d = -4; \\
6, & d = -3.
\end{cases}

然后狄利克雷证明出:

h(d)=
\begin{cases}
\frac{w \sqrt{|d|}}{2 \pi} L(1,\chi), & d < 0; \\
\frac{\sqrt{d}}{\ln \epsilon} L(1,\chi), & d > 0.
\end{cases}

这是上述定理1一个特殊情况:只对一个二次域K戴德金zeta函数的结论:\zeta_K(s) = \zeta(s) L(s, \chi), 留数为L(1,\chi).狄利克雷也证明了,L序列可以写成有限形式,从而类数也可以写成有限形式。类数有限的形式为:

 L(1, \chi) =
\begin{cases}
-\frac{\pi}{|d|^{3/2}}\sum_{m=1}^{|d|} m \left( \frac{d}{m} \right), & d < 0; \\
-\frac{1}{d^{1/2}}\sum_{m=1}^{d} \left( \frac{d}{m} \right) \ln \sin \frac{m\pi}{d} , & d > 0.
\end{cases}

参考文献[编辑]

  • W. Narkiewicz. Elementary and analytic theory of algebraic numbers 2nd ed. Springer-Verlag/Polish Scientific Publishers PWN. 1990: 324–355. ISBN 3-540-51250-0.