紐結多項式

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在數學的紐結理論中,扭結多項式指的是一類以多項式表達的紐結不變量(knot invariant),而此類多項式的係數則表示它所代表的紐結的一些性質。

歷史[编辑]

第一個已知的紐結多項式,也就是所謂的亞歷山大多項式(Alexander polynomial),是由詹姆斯·韋德爾·亞歷山大在1923年引進的,但其他的紐結多項式卻一直都沒找到,直到近六十年後。

在1960年代,約翰·何頓·康威找出了一個對於亞歷山大多項式的某版本的糾結關係(skein relation),這又被稱為所謂的康威─亞歷山大多項式(Alexander–Conway polynomial)。糾結關係的重要性直到1980年代前期佛漢‧鍾斯(Vaughan Jones)發現鍾斯多項式(Jones polynomial)前都未被理解。這導致了更多紐結多項式的發現,如所謂的HOMFLY多項式

鍾斯發現該多項式不久後,路易‧考夫曼(Louis Kauffman)便注意到說鍾斯多項式可藉由狀態和模型(state-sum model)來計算,這牽涉到所謂的括號多項式(Bracket polynomial),該多項式為框多項式(framed knot)的一個不變量。這開啟了連結紐結理論和统计力学間關係的研究。

在1980年代晚期,這方面有兩個重要的突破。愛德華‧衛頓(Edward Witten)指出了鍾斯多項式及相似的鍾斯式不變量,有個以陳─西蒙斯理論(Chern–Simons theory)進行解釋的方法。維克托‧瓦西里耶夫(Viktor Vassiliev)和米哈伊爾‧高薩羅夫(Mikhail Goussarov)則開始了紐結的有限類不變量(finite type invariant)的理論。

近年來,亞歷山大多項式已被證明與弗洛爾同調(Floer homology)相關。

相關書目[编辑]

參見[编辑]

特定的紐結多項式[编辑]

相關主題[编辑]