葛立恆數

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葛立恆數葛立恆提出,被視為現時在正式數學證明中出現過最大的數。它大得連科學記數法也不夠用。

葛立恆問題[编辑]

這是個拉姆齊理論的問題:考慮一個n維的超立方体,連結所有頂點,有一個2n個頂點的完全圖。將這個圖的每條邊填上紅色或黑色。求n的最小值,才使得所有填法中都必定存在一個在同一平面上有四個頂點的單色完全子圖。

雖然這個準確答案未知,但葛立恆數是現時所知最小的上界。

現時所知最小的下界由印第安納州大學的Geoff Exoo教授在2003年提出,至少是11。

定義[编辑]

葛立恆數的高德納箭號表示法

定義函數f(n) = H_{n+2}(3,3) = 3→3→n(參看hyper運算符康威鏈式箭號表示法),使用函數冪,則葛立恆數是f64(4)。

雖然葛立恆數不可以用康威鏈式箭號表示法很方便地表達,但康威鏈式箭號表示法能為它簡單地定上下界: 3→3→64→2 < 葛立恆數 < 3→3→65→2

如果要用高德納箭號表示法來表示葛立恆數,會變得異常複雜,如右所示(G代表葛立恆數),而高德納箭號表示法所能表示的已經遠遠超出科學記數法了。

巨大的葛立恆數[编辑]

利用高德納箭號表示法,葛立恆數G可以表示為:

 
\left. 
 \begin{matrix} 
  G &=&3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\
    & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\ 
    & &\underbrace{\qquad\;\; \vdots \qquad\;\;} \\ 
    & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdot\cdot \uparrow}3 \\
    & &3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3
 \end{matrix} 
\right \} \text{64L}

其中,64L表示共有64層。從上至下,每一層中的箭號數量由接下去的那一層所表示的數值決定。 計算G值需要經過64步,首先從最底層開始計算:

 
g_1 
= 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 
= 3 \uparrow \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow \uparrow 3) 
= 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow \ \dots \ (3 \uparrow\uparrow 3) \dots ))

讓:X
= 3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 
= 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow 27
= 3 \uparrow \uparrow 7625597484987 
= \underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}_{7625597484987} 迭代冪次


g_1 
= 3 \uparrow \uparrow \uparrow  X 
=\underbrace{3\uparrow\uparrow 3\uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow 3}_X

給定函數:

f(n) = 3 \uparrow^n 3

例如:f(1) = 3 \uparrow 3,\ f(2) = 3 \uparrow \uparrow 3


g_1=f(4)
= 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow  3 
= 3 \uparrow \uparrow \uparrow X 
= \left. \underbrace{3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}}_{ \underbrace{3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{3} }} \right\} X

然後計算g2:

g_2 = f^{2}(4) = f(f(4)) = 3 \uparrow^{g_{1}} 3(中間有g_1個箭號)

接著計算:

g_3 = f(f^{2}(4)) = 3 \uparrow^{g_{2}} 3
  
\vdots \vdots
g_{63} = f(f^{62}(4)) = 3 \uparrow^{g_{62}} 3

最後:

G = g_{64} = f^{64}(4)= \underbrace{f(f(\cdots f}_{64}(4) \cdots )) =3 \uparrow^{g_{63}} 3 ,\ g_n = 3\uparrow^{g_{n-1}}3

其中:

f^{2}(n) = f(f(n)),\ f^{3}(n) = f(f(f(n))), 以此類推。

葛立恆數最尾端的500位數字為[编辑]

...

02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521

43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780

38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092

91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080

25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560

43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887

17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509

27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508

94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380

03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387。

外部連結[编辑]

  • [1](java applet)