證明22/7大於π

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人們經常使用{22 \over 7}這個有理數作為圓周率π 的丢番圖逼近。在 π 的連分數表達中,{22 \over 7}是它的一個漸近分數。從這兩個數字的小數形式可見{22 \over 7}是大於 π 的:

\frac{22}{7} \approx 3.142857\dots\,
\pi \approx 3.141592\dots\,

這個近似值從古代就有人使用。縱使阿基米德並非這個近似值的始創者,但他就證明了{22 \over 7}高估了圓周率。他以{22 \over 7}大於外切正96邊形的周界:該圓直徑之比作證明。

這個近似值常被稱為「約率[1],除這以外,常用的近似值還有同是由祖沖之在5世紀提出的密率{355 \over 113}

以下是另一個{22 \over 7} > π的證明,所用到的只是微積分的基本技巧。它本來只是用於顯示可以用有系統的方法計算π的值,而非證明{22 \over 7}大於π。它比起一些基本證明更容易理解[2]。它的優雅是由於它和丟番圖近似值的關連。路卡斯稱這條公式為「其中一個估計π值的最美麗結果」[3]Havil以這個結果終結了有關以連分數估計的討論,說它在該範疇是「不得不提及」的[4]

概念[编辑]

0 < \int_0^1 \frac{x^4 (1 - x) ^4}{1 + x^2} \,dx= \frac{22}{7} - \pi

故此227 > π。

詳情[编辑]

被積函數是一個分數,其分子和分母皆是非負函數,所以該積分是正數。由於被積函數是正數,由0至1的定積分也大於0。

以下就證明該積分實際上與227的關係:

0\, <\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx
=\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\,dx 展開分子的數項
=\int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \,dx 多項式長除法
=\left. \frac{x^7}{7} - \frac{2x^6}{3} + x^5 - \frac{4x^3}{3} + 4x - 4\arctan{x}\,\right|_0^1 定積分
=\frac{1}{7} - \frac{2}{3} + 1 - \frac{4}{3} + 4 - \pi\ 把結果代入1和0,然後相減。注意:arctan(1) = π/4
=\frac{22}{7} - \pi. 加數

布肯南數學比賽中的出現[编辑]

求取這積分的值是1968年布肯南數學比賽的第一個題目[5]

A-1. 证明
\frac{22}{7} -\pi=\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx

上限和下限[编辑]

達賽爾(1944)指出,只要把1代入分母中的x,可輕易取得積分的下限;把0代入分母中的x,可取得積分的上限[6]

{1 \over 1260} < \int_0^1 {x^4 (1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx < {1 \over 630}.

結果得出

{22 \over 7} - {1 \over 630} < \pi < {22 \over 7} - {1 \over 1260}.

也許這是計算π值至小數後3位的最快和最基本的方法。另參見達賽爾(1971)[7].

參考資料[编辑]

  1. ^ 韩雪涛. 数学科普:常识性谬误流传令人忧. 中华读书报. 2001年8月29日 [2006年10月6日]. 
    雖然它又被為「疏率」,但有數學家指出這名稱不適合。
  2. ^ 比較愛德華·梅特蘭·賴特高德菲·哈羅德·哈代,第22章中的質數定理的基本證明
    (1938)《數論介紹》第5版,美國牛津大學出版社(1980年4月17日)ISBN 0198531710
  3. ^ Lucas, Stephen. "Integral proofs that 355/113 > π", Australian Mathematical Society Gazette32冊,4號,263–266頁
    這著作開首便道這是「其中一個估計π值的最美麗結果」。
  4. ^ Havil, Julian. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. 2003: 96頁. ISBN 0-691-09983-9. 
  5. ^ The Twenty-Ninth William Lowell Putnam Mathematical Competition: December 7, 1968//edited by Gerald L. Alexanderson, Leonard F. Klosinski, Loren C. Larson (编). The William Lowell Putnam Mathematical Competition problems and solutions: 1965-1984. Washington, DC: The Mathematical Association of America. 1985: p. 9. ISBN 0883854414. 
  6. ^ 達賽爾, D. P. (1944). "On 22/7", Journal of the London Mathematical Society 19, 133–134頁
  7. ^ Dalzell, D. P. (1971). "On 22/7 and 355/113", Eureka; the Archimedeans' Journal, 34冊, pages 10–13頁.

相關條目[编辑]

外部連結[编辑]