長直線

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拓撲學中,長直線,或稱亞歷山德羅夫(Alexandroff)直線,是一個有點像實數線拓撲空間,但是比實數線要「長」。長直線局部性質就如實數線,但整體性質不同,因此常用作拓撲學的基本反例。[1]直觀地說,實數線有可數多個首尾相接的線段[0, 1),而長直線是用不可數多個這些線段構成。

定義[编辑]

閉長射線L定義為第一不可數序數ω1半開區間[0, 1)的笛卡兒積,賦以自ω1 × [0, 1)上的字典序生成的序拓撲。將閉長射線除去最小元素(0,0)就得出開長射線

長直線是將兩個方向各一條長射線合併而成。嚴格來說,長直線可以定義為反向開長射線(反向指倒轉次序)和(不反向)閉長射線的不交併上的序拓撲,令閉長射線上各點都大於反向開長射線上各點,使成為全序集。另一個做法是取兩條開長射線,將一條射線的開區間{0} × (0, 1)與另一條的同一開區間的反向等同,也就是將一條上的點(0, t)和另一條上的點(0,1 − t)等同。(其中t是實數,且0 < t < 1。)定義長直線為將兩條開長射線如此黏貼而得出的拓撲空間。第一個構造法給出長直線上的次序,並且表明長直線的拓撲是序拓撲;而等二個構造法用了黏貼開集合方法,以拓撲觀點以言較為清晰。

直觀上,閉長射線就像實()半直線,但有一方向相比要長得多:其一端稱為長的,另一端稱為閉的。開長射線就像實數線(或半直線),除了有一方向更長:其一端稱為長的,另一端稱為短(開)的。長直線比實數線兩方向都比實數線長:其兩端都稱為長的。

有很多作者將長射線(或閉或開)稱為「長直線」,對上述各種長空間的稱呼多有混淆。不過在不少反例中,這些分別都不要緊,因為反例的關鍵在於長的一端,而另一端或長或短,都無關重要。

與上述的空間相關的有(閉)擴充長射線L*,是在閉長射線L的長端加一個元素而得到L一點緊緻化空間。同樣可以在長直線兩端各加上一個元素,得出擴充長直線

性質[编辑]

閉長射線L = ω1 × [0,1)包含了不可數多個[0,1)首尾「黏合」。相對而言,對任何可數序數α,黏合α個[0,1)所得的空間仍然是同胚(且序同構)於[0,1)。而如果將「多於」ω1個[0,1)黏合,得出的空間不再是局部同胚R

L中的任何遞增序列都趨向L中的一個極限,因為ω1的元素是可數序數,任何由可數多個可數序數組成的族的最小上界是一個可數序數,以及在R中每個遞增有界序列都收歛。因此不存在從LR的嚴格遞增函數。

在長射線(無論擴充與否)和長直線上的是序拓撲,因此是正規豪斯多夫空間。這些空間都與實數線等勢,但比實數線「長得多」。這些空間都是局部緊緻。沒有一個可度量化,因為長射線是序列緊緻,但非緊緻,就連林德勒夫空間也不是。

非擴充的長直線和長射線不是仿緊緻空間。這些空間是道路連通局部道路連通單連通,但不是可縮的。這些空間是一維拓撲流形。若是閉長射線,則為帶邊流形。這些空間是第一可數,但不是第二可數,也不是可分的。所以要求流形的定義有後兩個性質的作者,不把長直線算為流形。

長直線和長射線可以賦予(不可分)微分流形結構。不過雖然它們的拓撲流形結構唯一(拓撲上而言,只有一個方法令一條實數線在某一端「加長」),微分流形結構卻非唯一:對每個自然數k,給定長直線及長射線上任一個Ck結構,都有無限多個Ck+1C結構,可以導出該Ck結構。[2]以上性質與通常的(即是可分)流形有顯著差異,因為只要k≥1,通常的流形上的一個Ck結構就決定了唯一的C結構。

長直線和長射線不能賦予一個黎曼度量,以導出其拓撲。因為黎曼流形就算不假設是仿緊緻,也可以證明是可度量化。[3]

擴充長射線L*是緊緻的,是閉長射線L的一點緊緻化,卻也是其Stone-Čech緊緻化,因為任何連續函數從(閉或開的)長射線到實數線終於會是常數。L*也是連通,但非道路連通,因為長直線「太長」,不能用一條道路覆蓋。道路就是一個區間的連續像。L* 不是流形,也不是第一可數的。

參考[编辑]

  1. ^ Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr.. Counterexamples in Topology Dover Publications reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1995 [1978]. ISBN 978-0-486-68735-3. MR507446 
  2. ^ Koch, Winfried & Puppe, Dieter. Differenzierbare Strukturen auf Mannigfaltigkeiten ohne abzaehlbare Basis. Archiv der Mathematik. 1968, 19: 95–102. doi:10.1007/BF01898807. 
  3. ^ S. Kobayashi and K. Nomizu. Foundations of differential geometry I. Interscience. 1963: 166.