愛因斯坦關係

在分子運動論中，愛因斯坦關係是一個以前沒有想到的關係，由阿爾伯特·愛因斯坦在1905年和Marian Smoluchowski在1906年獨立發現：

$D={\mu _{p}\,k_{B}T}$

把D——擴散常數，和μ_p——粒子的遷移率聯繫起來；其中$k_{B}$是玻爾茲曼常數，T是絕對溫度。

遷移率μ_p是粒子的終極速度與作用力之比：μ_p = v_d / F。

這個方程是漲落耗散定理的一個早期的例子。它在電子擴散的現象中經常使用。

粒子的擴散

在低雷諾數的極限下，遷移率$\mu$是阻力係數$\gamma$的倒數。對於半徑為$r$的球形粒子，斯托克斯定律給出：

$\gamma =6\pi \,\eta \,r,$

其中$\eta$是介質的黏度。因此愛因斯坦關係變為：

$D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}$

這個方程也稱為斯托克斯-愛因斯坦關係或斯托克斯-愛因斯坦-薩瑟蘭方程。它可以用於估計球狀蛋白在水溶液中的擴散係數：對於100kDalton的蛋白質，我們得到$D$ ~10^-10 m² s^-1，假設蛋白質的密度是「標準」的~1.2 10³ kg m^-3。

電傳導

當應用於電傳導的時候，通常把電遷移率定義為機械導納$\mu _{p}$與載流子的電荷q的乘積：

$\mu _{q}=q*{\mu _{p}}$

也可以表述為：

$\mu _{q}={{v_{d}} \over {E}}$

其中E是施加的電場；因此愛因斯坦關係變為：

$D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}$

在任意態密度的半導體中，愛因斯坦關係為：

$D={{\mu _{q}\,p} \over {q{{d\,p} \over {d\eta }}}}$

其中$\eta$是化學勢，p是粒子數。

參考文獻

• "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics" by Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）