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反證法

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反證法[1](英語:proof by contradiction)又稱背理法,是一種論證方式,他首先假設某命題成立(即在原命題的條件下,結論不成立),然後推理出明顯矛盾的結果,從而下結論說原假設不成立,原命題得證。

反證法與歸謬法相似,但歸謬法不僅包括推理出矛盾結果,也包括推理出不符事實的結果或顯然荒謬不可信的結果。

理據

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給出命題 和命題 (非 ),根據排中律,兩者之中起碼有一個是真(更強的說法為,除了真和假之外並無其他的情況),所以如果其中一個是假的,另一個就必然是真。給出命題 和命題 (非 ),根據無矛盾律,兩者同時為真的情況為假。給出命題 ,根據否定後件律,如果若 成立時出現 ,則 為假時 即為假。反證法在要證明 時,透過顯示出若 成立時出現矛盾(),即 為假,從而證明 為真。

例子

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無理數的證明(古希臘人)

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證明:假設有理數,那麼可以寫成 的形式,其中 皆為正整數且 互質。那麼有

可得 是偶數。而只有偶數的平方才是偶數,所以 也是偶數。因此可設 ,從而 ,代入上式,得:。所以 也是偶數,故可得 也是偶數。這樣 都是偶數,不互質,這與假設 互質矛盾,假設不成立。因此為無理數。

其他可用反證法證明的例子

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數學上有許多的定理可用反證法來證明,以下是一小部分的例子:

  1. 證明有無限多個質數。
  2. 任意6人當中,求證或者有3人兩兩相識,或者有3人互不相識。
  3. 現有90張紙,每張紙都寫有一個非負整數,已知這90個數之和小於1980,證明至少有三張數目相同的紙。
  4. 集合 沒有最小值。
  5. 是大於1的整數,若所有小於或等於的質數都不能整除 ,則 是質數。
  6. 已知三角形ABC是銳角三角形,且。求證:
  7. 已知 為正實數,求證:
  8. 已知 是實數,且,求證:
  9. 一個群若同時是交換群單群,則該群是循環群
  10. 若一個循環群是單群,則該群的階為質數
  11. 若一個循環群的階為質數,則該群為單群
  12. 鴿籠原理

引文

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相關條目

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參考

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進一步閱讀

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  • J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6