反證法

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反證法(又稱背理法)是一種論證方式,他首先假設某命題不成立(即在原命題的條件下,結論不成立),然後推理出明顯矛盾的結果,從而下結論說原假設不成立,原命題得證。

反證法與歸謬法相似,但歸謬法不僅包括推理出矛盾結果,也包括推理出不符事實的結果或顯然荒謬不可信的結果。

理據[編輯]

給出命題p和命題\bar{p}(非p),根據排中律,兩者之中起碼有一個是真(更強的說法為,除了真和假之外並無其他的情況),所以若果其中一個是假的,另一個就必然是真。給出命題q和命題\bar{q}(非q),根據無矛盾律,兩者同時為真的情況為假。給出命題pr,根據否定後件律,如果若p成立時出現r,則r為假時p即為假。反證法在要證明p時,透過顯示出若\bar{p}成立時出現矛盾(q\bar{q}),即\bar{p}為假,從而證明p為真。

例子[編輯]

\sqrt{2}無理數的證明(古希臘人)

證明:假設\sqrt{2}有理數,那麼就寫成p/q的形式,且p,q互質。那麼有
p=\sqrt{2}×q
p²=2×q²
可得p²是偶數。而只有偶數的平方才是偶數,所以p也是偶數。因此可設p=2s,代入上式,得:q²=2s². 所以q也是偶數。這樣,p,q都是偶數,不互質,這與假設p,q互質矛盾。則假設不成立!因此\sqrt{2}為無理數。

其他可用反證法證明的例子[編輯]

  1. 證明有無限多個質數。
  2. 任意6人當中,求證或者有三人兩兩相識,或者有三人互不相識。
  3. 現有90張紙,每張紙都寫有一個非負整數,已知這90個數之和小於1980,證明至少有三張數目相同的紙。
  4. 集合S={x:0<x<1}沒有最小值。
  5. 設n是大於1的整數,若所有小於或等於\sqrt{n}的質數都不能整除n,則n是質數。
  6. 已知三角形ABC是銳角三角形,且∠A>∠B>∠C。求證:∠B>45。
  7. 已知a、b為正實數,求證:\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{b}
  8. 已知a、b、c、d是實數,且ad-bc=1,求證:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1。

引文[編輯]

進一步閱讀[編輯]

  • J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6