反證法

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反證法(又稱背理法)是一種論證方式,他首先假設某命題不成立(即在原命題的條件下,結論不成立),然後推理出明顯矛盾的結果,從而下結論說原假設不成立,原命題得證。

反證法與歸謬法相似,但歸謬法不僅包括推理出矛盾結果,也包括推理出不符事實的結果或顯然荒謬不可信的結果。

理據[編輯]

給出命題p和命題\bar{p}(非p),根據排中律,兩者之中起碼有一個是真(更強的說法為,除了真和假之外並無其他的情況),所以若果其中一個是假的,另一個就必然是真。給出命題q和命題\bar{q}(非q),根據無矛盾律,兩者同時為真的情況為假。給出命題pr,根據否定後件律,如果若p成立時出現r,則r為假時p即為假。反證法在要證明p時,透過顯示出若\bar{p}成立時出現矛盾(q\bar{q}),即\bar{p}為假,從而證明p為真。

例子[編輯]

\sqrt{2}無理數的證明(古希臘人)

證明:假設\sqrt{2}有理數,那麼就寫成p/q的形式,且p,q互質。那麼有
p=\sqrt{2}×q
p²=2×q²
可得p²是偶數。而只有偶數的平方才是偶數,所以p也是偶數。因此可設p=2s,代入上式,得:q²=2s². 所以q也是偶數。這樣,p,q都是偶數,不互質,這與假設p,q互質矛盾。則假設不成立!因此\sqrt{2}為無理數。

其他可用反證法證明的例子:[編輯]

1. 證明有無限多個質數。

2. 任意6人當中,求證或者有三人兩兩相識,或者有三人互不相識。

3. 現有90張紙,每張紙都寫有一個非負整數,已知這90個數之和少於1980,證明至少有三張數目相同的紙。

4. 集合S={x:0<x<1}沒有最少值。

5.n是大於1的整數,若所有少於或等於√n的質數都不能整除n,則n是質數。

6. 已知三角形ABC是銳角三角形,且∠A>∠B>∠C。求證:∠B>45

7. 已知ab為正實數,求證:(a+b)/2≧√(ab)

8. 已知abcd是實數,且ad-bc=1,求證:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1

9. (i)甲、乙、丙、丁四人兩兩作桌球賽;(ii)甲勝了丁;(iii)甲、乙、丙三人勝的場數相同。證明丁全輸。

10. 組裝甲、乙、丙三種產品,需用ABC三種零件。每件甲需用AB各兩個;每件乙需用BC各一個;每件丙需用二個A和一個C。用庫存的ABC三種零件,如組裝成p件甲產品、q件乙產品和r件丙產品,則剩下2A1BC恰好用完。試證:無論怎樣改變生產甲、乙、丙的件數,也不能把庫存的ABC三零件都恰好用完。

11. 是否存在這樣的自然數mn滿足關係式:(m2-n2)/2=1983

12.abc為實數,A=a2-2b+π/2B=b2-2c+π/3A=c2-2a+π/6。試證:ABC中至少有一個的值大於0

13. 證明8x+15y=50沒有正整數解,其有負整數解。

14. 證明log 2是無理數。

15. 若質數p能表成兩自然數的平方和,則那表示式是唯一的。

16. a,b,x,y都是整數,且滿足ax+by=1,證明a,b互質。

17. A,B,C,a,b,c為實數,且aC±2bB+cA=0ac-b2>0,求證AC-B2≦0

18.2為底的對數,求證log3, 2, log 5三數不能成等差數列,也不能成等比數列。

19. 證明364+464不能被3整除,也不能被5整除。

20. 試證方程組x+y+z=xyz1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z) 無實數解。

21. 求證cos√x不是周期函數。

22. 求證x=sin(x)+c (c是常數) 的解是唯一的。

23.a≠b,試證分別為1-a21-b22(1-ab) 的三條線段,不能組成一個三角形。

24. 圓內不是直徑的兩弦,不能互相平分。

25. 求證直角三角形斜邊上的中線等於斜邊長的一半。

26. 若多項式係數之和為0,則多項可被x-1整除。

27. 形如4n+3的整數不能化為兩整數的平方和。

28. 如果2m+1是質數,則m=2n

29. 凸四邊形ABCD中,已知AB+BD≦AC+CD,證明AB<AC

30. 一個有6x6間房的展館(如國際棋盤) ,每兩間相鄰的房間有門可通行,現有人想從左上角的入口進去,經過所有房間,但不重複,而從右下角的出口出來。試證這走法不可能。

31. 如果(n-1)!+1n整除,則n是質數。

32. 已知a<1b<1c<1,求證(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a都不能大於1/4

33. 證明不論n是甚麼整數,方程x2-16nx+7t=0沒有整數解。其中t是正奇數。

34. 三角形的兩個角的平分線相等,則是等腰三角形。

35. 設平面上有六個圓,每個圓的圓心都在其餘各圓的外部,證明平面上任一點都不會同時在這六個圓的內部。

36. 在邊長為1的正方形中任作一曲線CC的兩端點可在正方形的同一邊上或不同邊上,若C的長度少於1,求證:必定有一條正方形的對角線,使C在它的一側。

37.x, y, z, n都是自然數,且n≧z,求證xn +yn =zn不能成立。

38. 四邊形ABCD中,若AB2+CD2=AD2+BC2,求證AB垂直於BD

39.x,y皆為正實數,且滿足x3+y3 =2,求證x+y≦2

40. 對任意大於0的實數x,恆有x+1/x≧2

41. 對任意大於0的實數x,恆有x/(x+1) < (x+1)/(x+2)

42. 如果 0<x<π/2,則sin(x)+cos(x)>1

43.abc都為奇數,則方程ax2+bx+c=0沒有有理根。

44. 求證:在01之間有無限多個有理數。

45. 求證:在△ABC的內部,不存在點P使PB+PC≧AB+AC

46. 證明:無理數3√2不能表示成p+q√r的形式,其中pqr都是有理數。

47. 形如4k+1的質數有無窮多個。

48. 形如5k+1的質數有無窮多個。

49.a是無理數,則cos(ax)+cos(x) 不是周期函數。

50. 證明神不全能。

51. 證明e不是有理數。

52. 證明『物體下落時,重的比輕的落下快一點!』是錯的。假設有兩物體AB,且AB重,考慮AB綁在一起下落時的情況證明之。

引文[編輯]

進一步閱讀[編輯]

  • 特例假設
  • J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6