調和測度

數學中，調和測度是調和函數理論中出現的一個概念。給定了一個解析函數的模在一個區域 D 邊界上的界，能用調和測度去估計函數在區域內部的模。在一個非常相關的領域，一個伊藤擴散 X 的調和測度描繪了 X 撞擊 D 邊界的分佈。

定義

設 D 是 n-維歐幾里得空間中一個有界開區域，n ≥ 2，記 ∂D 為 D 的邊界。任何連續函數 f : ∂D → R 惟一確定一個調和函數 H_f 滿足狄利克雷問題：

${\begin{cases}-\Delta H_{f}(x)=0,&x\in D;\\H_{f}(x)=f(x),&x\in \partial D.\end{cases}}$

如果點 x ∈ D 取定，H_f(x) 確定了 ∂D 上的一個非負拉東測度 ω(x, D)：

$H_{f}(x)=\int _{\partial D}f(y)\,\mathrm {d} \omega (x,D)(y).$

這個測度 ω(x, D) 稱為關於區域 D 和點 x 的調和測度。

性質

• 對任何 ∂D 中的波萊爾集 E ，調和測度 ω(x, D)(E) 等於Direchlet 問題中邊界函數取 E 的示性函數的解在 x 點的取值。故ω(x, D)(E) 是 x 的調和函數。

• 對取定的 D 和 E ⊆ ∂D， ω(x, D)(E) 是x ∈ D 的一個調和函數，且

$0\leq \omega (x,D)(E)\leq 1;$

$1-\omega (x,D)(E)=\omega (x,D)(\partial D\setminus E);$

從而，對任何 x 和 D，ω(x, D) 是 ∂D 上的概率測度。

• 只要在 D 中有一點 x 滿足 ω(x, D)(E) = 0 ，那麼根據極小值原理，ω(x, D)(E) 對任何 x 恆等於 0，在這種情況下稱 E 是一個零調和測度集。進一步，如果 Rⁿ 中緊集 K 關於某個區域 D 的調和測度為 0，那麼 K 關於任何區域的調和測度都是 0，這種情況若且唯若 K 的調和體積為 0。

舉例和應用

要計算出一個一般區域的調和測度是困難的，但是對於平面 R² 上一些常見的區域的邊界上某些子集，我們可以直接寫出調和測度。

• D 為圓域，E ⊆ ∂D 是長為 2α 的圓弧，設 θ(x) 為點 x ∈ D 對圓弧 E 的視角，則：

$\omega (x,D)(E)={\frac {\theta (x)-\alpha }{\pi }}.$

• D 為以原點為中心內外半徑為 r、R 的圓環域，E₁、E₂ 分別為內外邊界，則對所有 x ∈ D 有：

$\omega (x,D)(E_{1})={\frac {\log R-\log |x|}{\log R-\log r}};$

$\omega (x,D)(E_{2})={\frac {\log |x|-\log r}{\log R-\log r}}.$

若已知調和函數的模在邊界上的估計，利用調和測度就可得到內部模的一個估計。譬如，如果 ∂D 分為 E₁ 和 E₂ 兩部分（多部分一樣），設調和函數 f 的模長在 E₁、E₂ 上分別有界 M₁、M₂，那麼 f 在 D 內部 x 點有界：

$|f(x)|\leq \omega (x,D)(E_{1})M_{1}+\omega (x,D)(E_{2})M_{2}\;.$

設 D、E₁、E₂ 為第二個例子，取 f(x) = |log(h(x))|，這裏 h(x) 是環域上一個全純函數，我們便可得到阿達馬的三圓定理。

擴散的調和測度

考慮始於區域 D 內部某一點 x 的一個取 Rⁿ 值的 Itō 擴散 X，具有規律 P^x。假設我們要知道 X 逃逸出 D 的點分佈。譬如，實數軸上開始於 0 點，位於區間 (−1, +1) 的標準布朗運動，在 −1 的概率是 1/2，在 +1 的概率是 1/2，所以 B_{τ(−1, +1)} 是集合{−1, +1} 上的一致分佈。

一般的，如果 G 緊嵌入 Rⁿ，那麼 X 在 G 的 ∂G的調和測度（或撞擊分佈）為測度 μ_G^x，定義為：

$\mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}{\big [}X_{\tau _{G}}\in F{\big ]}$

對 x ∈ G 和 F ⊆ ∂G。

回到首先布朗運動的例子，我們可以證明如果 B 是一個 Rⁿ 內開始於 x ∈ Rⁿ 的布朗運動，且 D ⊂ Rⁿ 是一個以 x 為中心的開球體，那麼 B 在 ∂D 的調和測度在 D 繞 x 的所有旋轉下是不變的，從而調和測度等於 ∂D 上的曲面測度。

參考文獻

• Øksendal, Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications Sixth edition. Berlin: Springer. 2003. ISBN 3-540-04758-1.  引文格式1維護：冗餘文本 (link) MR2001996 (See Sections 7, 8 and 9)

• Ahlfors, Lars V. Complex Analysis Third edition. Beijing: China Machine Press. 2004. ISBN 711113416.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)(See Sections 6.5.1)

• Solomentsev, E.D. (2001), Harmonic measure（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104